[論文レビュー] Clifford Hopf gebra for two-dimensional space

Bertfried Fauser, Zbigniew Oziewicz|ArXiv.org|Nov 30, 2000

Advanced Algebra and Geometry参考文献 12被引用数 10

ひとこと要約

本稿は、2次元実ベクトル空間上のクライフ・双畳み込み代数が余代数を備えるための必要十分条件を確立し、これをクライフ・ホップ・ゲブラと定義する。主な結果は、そのような余代数が存在するための条件が、$η$ および $ξ$ がそれぞれ計量および双対構造テンソルであるとき、$τδ(ℓ−ξ∘η) \neq 0$ である、すなわち、$τδ(ℓ−ξ∘η)$ が非ゼロであることである。

ABSTRACT

A Clifford algebra Cl(V,η\in V^*\otimes V^*) jointly with a Clifford cogebra Cl(V,ξ\in V\otimes V) is said to be a Clifford biconvolution Cl(η,ξ). We show that a Clifford biconvolution for dim_R Cl=4 does possess an antipode iff det(id-ξ\circη) eq 0. An antipodal Clifford biconvolution is said to be a Clifford Hopf gebra. We study the Clifford Hopf gebra and examples of antipode less Clifford bigebras including the Grassmann case.

研究の動機と目的

• 2次元実ベクトル空間上のクライフ・双畳み込み代数が余代数を備える条件を特定し、それによってクライフ・ホップ・ゲブラを形成すること。
• 双畳み込みおよび双双畳み込み構造を備えたクライフ代数に、ホップ・ゲブラ構造の概念を一般化すること。
• 低次元クライフ代数における余代数の存在を決定づける $\xi \circ \eta$ の役割を調査すること。
• 4次元クライフ代数に適用可能な、$τδ(\mathrm{id} - \xi \circ \eta)$ の行列式に基づく余代数存在の基準を提示すること。
• クライフ構造における代数的・余代数的双対性と、それらがホップ・ゲブラ性質に与える影響を検討すること。

提案手法

• 同一空間上にクライフ代数 $\mathcal{C}\ell(V, \eta)$ と双対クライフ余代数 $\mathcal{C}\ell(V, \xi)$ を備えたクライフ・双畳み込み $\mathcal{C}\ell(\eta, \xi)$ を定義する。
• 代数的構造と余代数的構造の双対性を用いて、双対空間上での畳み込みおよび双畳み込み積を定義する。
• Cruz と Oziewicz (2000) が提示した一般理論を、$\mathbb{R}^2$ 上の4次元クライフ代数に適用する。
• 余代数の存在に必要な十分条件として、$\det(\mathrm{id} - \xi \circ \eta) \neq 0$ を導出する。
• ${\rm End}(V)$ と $V \otimes V^*$ の標準的同型を用いて、双畳み込みの代数的構造を分析する。
• 計算ツール（Maple V パッケージ CLIFFORD および BIGEBRA）を用いて、重要な恒等式および行列式条件の検証と導出を実施する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2次元実ベクトル空間上のクライフ・双畳み込み代数が余代数を備えるのはどのような条件下か？
• RQ2 $\xi \circ \eta$ の合成がクライフ代数における余代数の存在にどのように影響するか？
• RQ3 $\det(\mathrm{id} - \xi \circ \eta)$ は、クライフ代数のホップ・ゲブラ構造を決定づける上で果たす役割は何か？
• RQ4 $\eta$ や $\xi$ がゼロであっても、クライフ・双畳み込みに余代数が存在しうるか。その場合の行列式条件は何か？
• RQ5 2次元の場合におけるクロスマップの最小多項式は、余代数の存在とどのように関係するか？

主な発見

• 2次元実ベクトル空間上のクライフ・双畳み込み $\mathcal{C}\ell(\eta, \xi)$ は、$\det(\mathrm{id} - \xi \circ \eta) \neq 0$ であるときかつそのときに限り、余代数を備える。
• ${\rm dim}_{\mathbb{R}}\mathcal{C}\ell = 4$ のとき、余代数は $\xi \circ \eta$ が非退化条件 $\det(\mathrm{id} - \xi \circ \eta) \neq 0$ を満たすときかつそのときに限り存在する。
• $\eta = 0$ または $\xi = 0$ の場合、$\det(\mathrm{id} - \xi \circ \eta) = 1$ となり、余代数は存在する。これは一般条件と整合的である。
• 余代数は、スプリットイドムポテンシャル $\xi^\wedge = \Delta^\xi(1)$ が適切に定義され、かつ $\wedge^\eta \circ \Delta^\xi = \mathrm{id}$ を満たすときかつそのときに限り存在する。
• クロスマップ $\sigma$ の最小多項式の次数が3であるのは、$\sqrt{\mu} - 1$ が $\mathbb{Z}[x]$ 上の12次多項式 $p(x)$ の根でないときである。ここで $\mu = \det(\mathrm{id} - \xi \circ \eta)$ である。
• $\mathrm{tr}(\eta \circ \xi) = 2$ のとき、余代数は存在せず、$\sigma$ の最小多項式は消える。これはホップ構造の崩壊を示している。