[論文レビュー] Clifford theory for Yokonuma--Hecke algebras and deformation of complex reflection groups

Nicolas Jacon, Loïc Poulain d’Andecy|arXiv (Cornell University)|Sep 20, 2016

Advanced Algebra and Geometry参考文献 13被引用数 11

ひとこと要約

本稿では、対称群作用を介してヨコヌマ–ヘッケ代数から導かれる2つの新しい代数クラスを導入する。1つはバングルとテープの代数（BTₙ）に同型であるもので、もう1つは型G(d, p, n)の複素反射群の新しい変形を提供するものである。クライフォード理論を用いて、両者の単純表現の完全なパrametrizationを半単純およびモジュラー設定の両方で確立し、概念的枠組みとこれらの代数の新しい表示を与える。具体的には、同型写像と構造的結果（d = p = 2のときのDₙワイル群の変形に対する新しい表示を含む）が得られる。

ABSTRACT

We define and study an action of the symmetric group on the Yokonuma--Hecke algebra. This leads to the definition of two classes of algebras. The first one is connected with the image of the algebra of the braid group inside the Yokonuma--Hecke algebras, and in turn with an algebra defined by Aicardi and Juyumaya known as the algebra of braids and ties. The second one can be seen as new deformations of complex reflection groups of type G(d,p,n). We provide several presentations for both algebras and a complete study of their representation theories using Clifford theory.

研究の動機と目的

• ヨコヌマ–ヘッケ代数Yd,nにおける対称群作用の下での固定点部分代数として生じる2つの新しい代数クラスの定義と研究。
• クライフォード理論を用いた、これらの代数の概念的かつ体系的な表現論の確立。
• d ≥ nのとき、バングルとテープの代数BTₙがSₚ固定点部分代数に同型であることを証明。
• Yd,nにおけるZ/pZ作用を介して、型G(d, p, n)の複素反射群の群代数の新しい変形を構成。
• 新しい変形代数の明示的表示および基底の提供、特にd = p = 2のときのDₙケースにおける簡単な表示の提供。

提案手法

• 対称群Sdがヨコヌマ–ヘッケ代数Yd,nに自己同型として作用するように定義し、t-演算子の置換によって誘導される。
• Sdの全作用の下での固定点部分代数として最初の代数を構成し、それがYd,nにおけるブレイド群の像に同型であることを示す。
• SdのZ/pZ部分群（pはdを割る）の作用の下での固定点部分代数として2番目の代数を構成する。
• Yd,nの表現論を固定点部分代数へクライフォード理論を用いて持ち上げ、Yd,n-加群の既知のパrametrizationを活用する。
• 固定点部分代数の複数の表示を提供し、特に型G(d, p, n)のブレイド群の商としての表示（明示的な関係式を含む）。
• 生成元間の明示的準同型写像を用いて同型を検証し、両方向で定義関係が保存されることを確認する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 バングルとテープの代数BTₙは、ヨコヌマ–ヘッケ代数Yd,nのSd固定点部分代数に同型であるか？
• RQ2 ヨコヌマ–ヘッケ代数を用いて、型G(d, p, n)の複素反射群の新しい変形を構成できるか？
• RQ3 クライフォード理論を用いて、固定点部分代数の表現論を体系的にどのように研究できるか？
• RQ4 新しい変形代数の明示的表示および基底は何か、特にDₙケースにおいては？
• RQ5 新しい変形代数は、標準的な巡回ヘッケ代数G(d, p, n)型に同型であるか？
• RQ6 これらの新しい代数の単純モジュールのパrametrizationは、半単純およびモジュラーの場合の両方でどのように与えられるか？

主な発見

• バングルとテープの代数BTₙは、Yd,nのSd固定点部分代数に同型であり、d ≥ nのとき、この同型の新しい概念的証明が得られる。
• Yd,nにおけるZ/pZ作用の固定点部分代数は、複素反射群G(d, p, n)の群代数の新しい変形であり、既知の部分群埋め込みを一般化する。
• 固定点部分代数の表現論はクライフォード理論を用いて完全にパrametrizedされ、単純モジュールはd/p-分割の巡回シフト作用の軌道によってインデックス付けされる。
• 代数Y^Z/pZ_d,nにおいて、単純モジュールV^λ_Siの次元はy(λ, e) × s(λ)/pで与えられ、ここでs(λ)はd/p-分割における巡回シフトの周期である。
• パラメータ化結果の特殊化を比較することで、新しい変形代数は標準的な巡回ヘッケ代数G(d, p, n)型に同型でないことが示された。
• d = p = 2のとき、Dₙワイル群代数の変形に対して、明示的で簡単な表示が与えられ、これは型G(2, 2, n)のブレイド群の商として得られる。