[論文レビュー] Clipping of Arbitrary Polygons with Degeneracies

Erich L Foster, James Overfelt|arXiv (Cornell University)|Nov 12, 2012

Computational Geometry and Mesh Generation参考文献 4被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、頂点のずれや中点計算、元の頂点データ構造の変更を必要とせずに、重複する辺や頂点などの退化状態を正しく処理できるように、Greiner-Hormann多角形クリッピングアルゴリズムを拡張している。この手法はKimらとLiuらの手法を統合し、退化状態を検出しラベル付けすることで、堅牢性を向上させつつ効率性を維持する。

ABSTRACT

Polygon clipping is a frequent operation in Arbitrary Lagrangian-Eulerian methods, Computer Graphics, GIS, and CAD. In fact, clipping algorithms are said to be one of the most important operations in computer graphics. Thus, efficient and general polygon clipping algorithms are of great importance. Greiner et al. developed a time efficient algorithm which could clip arbitrary polygons, including concave and self intersecting polygons. However, the Greiner-Hormann algorithm does not properly handle degenerate cases, without the undesirable need for perturbing vertices. We present an extension to the Greiner-Hormann polygon clipping algorithm which properly deals with degenerate cases. We combine the method proposed by Kim et al. and the method mentioned by Liu et al. to remove or properly label degenerate cases. Additionally, the algorithm presented avoids the need for calculating midpoints, doesn't require additional entry/exit flags, and avoids changing the vertex data structure used in the original Greiner-Hormann algorithm, which was required by the extension presented by Kim et al.

研究の動機と目的

• 重複する辺や一致する頂点といった退化状態を扱えないGreiner-Hormannアルゴリズムの欠陥を是正すること。
• 数値的不安定性を引き起こし、結果を歪めてしまう可能性がある頂点のずれを排除すること。
• Greiner-Hormannアルゴリズムの元の頂点データ構造を維持することで、後方互換性と効率性を確保すること。
• 追加の計算コストを加えずに、先行研究の堅牢な退化状態検出およびラベル付け手法を統合すること。
• ALE法、GIS、CADなどの応用分野において、凹型や自己交差を含む任意の多角形のクリッピングに一般に適用可能で、効率的かつ信頼性の高いソリューションを提供すること。

提案手法

• アルゴリズムは、Kimらのアイデアにインspiredされた退化状態検出ロジックをGreiner-Hormannに組み込み、辺同士の交差処理中に問題となる幾何的配置を特定する。
• 辺同士や頂点が辺上に位置するような退化状態（例：辺同士の衝突、頂点が辺上にある場合）を適切にラベル付け・解決するため、Liuらのアプローチを用いる。
• 中点の計算を回避することで、浮動小数点演算に伴う計算コストと数値誤差を低減する。
• 追加のエントリ/エグジットフラグを必要としないため、元のGreiner-Hormannフレームワークの単純さと効率性を保つ。
• 頂点データ構造を変更しないので、コアのデータ処理を再実装することなく、既存システムへのシームレスな統合が可能である。
• 退化状態の解決は交差処理段階で実行され、幾何的ヒューリスティクスを用いて出力多角形内の頂点を正しく分類・ルーティングする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Greiner-Hormannアルゴリズムを、頂点のずれに依存せずに、退化状態（重複する辺、一致する頂点など）を処理できるように拡張する方法は何か？
• RQ2 重複する辺や一致する頂点といった退化状態を検出し解決するため、どのような技術を組み合わせられるか？
• RQ3 Greiner-Hormannアルゴリズムの元の頂点データ構造を変更せずに、退化状態の処理を実現できるか？
• RQ4 中点計算と追加のフラグを排除しながら、正しさと効率性を維持することは可能か？
• RQ5 CAD や GIS などのハイリスク応用分野における任意の多角形クリッピングの堅牢性をどのように向上できるか？

主な発見

• 提案されたアルゴリズムは、頂点が辺上に重複する場合や辺同士が重複するような退化状態を、頂点のずれなしに正常に解決できる。
• 中点計算を回避することで、浮動小数点演算における数値誤差が低減され、性能向上が達成された。
• 元の頂点データ構造に変更を加える必要がなく、Greiner-Hormannアルゴリズムの効率性とモularityを維持できる。
• Kim らの退化状態検出とLiu らのラベル付け手法を統合することで、任意の多角形（凹型や自己交差あり）に対し、堅牢かつ正確なクリッピングソリューションが得られた。
• 元のGreiner-Hormannアプローチの時間的効率性を維持しながら、極端なケースにおける信頼性が著しく向上した。
• このソリューションは、コンピューターグラフィックス、CAD、GIS、ALE法など、多角形クリッピングが極めて重要な実世界のシステムに適用可能である。