[論文レビュー] Clique immersions in graphs of independence number two with certain forbidden subgraphs

Daniel A. Quiroz|arXiv (Cornell University)|Apr 11, 2020

Advanced Graph Theory Research参考文献 29被引用数 9

ひとこと要約

本稿では、独立数が2以下で、かつ任意の4頂点からなるグラフH（α(H) ≤ 2）の誘導部分グラフと同型でないグラフが、Lescure-Meyniel予想を満たすことを証明している。この予想は、このようなグラフがχ(G)サイズのクリーク埋め込みを含むと述べている。主な結果として、α(G) = 2 かつ C4 を含まないグラフ、およびより一般に |V(H)| ≤ 4 かつ α(H) ≤ 2 であるような H を誘導部分グラフに持たないグラフに対して、この予想が成立することを示している。

ABSTRACT

The Lescure-Meyniel conjecture is the analogue of Hadwiger's conjecture for the immersion order. It states that every graph $G$ contains the complete graph $K_{\chi(G)}$ as an immersion, and like its minor-order counterpart it is open even for graphs with independence number 2. We show that every graph $G$ with independence number $\alpha(G)\ge 2$ and no hole of length between $4$ and $2\alpha(G)$ satisfies this conjecture. In particular, every $C_4$-free graph $G$ with $\alpha(G)= 2$ satisfies the Lescure-Meyniel conjecture. We give another generalisation of this corollary, as follows. Let $G$ and $H$ be graphs with independence number at most 2, such that $|V(H)|\le 4$. If $G$ is $H$-free, then $G$ satisfies the Lescure-Meyniel conjecture.

研究の動機と目的

• 独立数が2であるグラフに対して、特定の禁止部分グラフ条件の下で Lescure-Meyniel 予想を解決すること。
• 独立数が有界なグラフにおけるクリーク埋め込みに関する部分的結果を拡張すること。
• 最小反例の構造的洞察を提供し、予想に対する避けられない誘導部分グラフを同定すること。
• C4 を含まないおよびK4 を含まないグラフに関する既知の結果を、埋め込み予想の文脈で一般化すること。

提案手法

• α(G) ≤ 2 かつ頂点数が4以下である誘導部分グラフ H を禁止するグラフを、構造的グラフ理論を用いて分析する。
• Ramsey論的議論を適用して、α(G) ≤ 2 かつ K4 を含まないグラフの位数を評価する。
• n ≤ 8 の頂点数についての帰納法とケース解析を用いて、小規模なグラフに対して予想を検証する。
• α(G) ≤ 2 であるグラフでは、任意の頂点の非隣接集合がクリークを誘導することを利用する。
• 近傍構造と連結性を分析し、クリーク埋め込みのための辺素パスを構成する。
• 背理法と最小性の議論を用いて、任意の最小反例が、α(H) ≤ 2 であるすべての4頂点グラフ H を誘導部分グラフとして含むべきであることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 C4 を含まないグラフ G で α(G) = 2 を満たすものについて、Lescure-Meyniel 予想は成立するか？
• RQ2 任意の4頂点グラフ H で α(H) ≤ 2 を満たすものについて、H を誘導部分グラフに持たないグラフ G で α(G) ≤ 2 を満たすものについて、Lescure-Meyniel 予想は検証可能か？
• RQ3 α(G) ≤ 2 の場合の予想に対する最小反例が満たすべき構造的性質は何か？
• RQ4 H が α(H) ≤ 2 を満たす4頂点グラフであるとき、G − H からの埋め込みを拡張することで、大きなクリークの埋め込みを構成できるか？
• RQ5 このようなグラフにおいて、大きなクリーク埋め込みの存在を妨げる一様な構造的障害は存在するか？

主な発見

• C4 を含まないグラフ G で α(G) = 2 を満たすものについては、Lescure-Meyniel 予想が成立し、Kχ(G) の埋め込みを含む。
• α(G) ≤ 2 かつ、独立数が2以下の7種類の4頂点グラフ H のいずれの誘導部分グラフとも同型でないグラフ G については、Lescure-Meyniel 予想が成立する。
• K4 を含まないグラフで α(G) ≤ 2 を満たすものについては、予想が成立し、実際には G はサイズ ⌈n/2⌉ のクリーク部分グラフを含む。
• K−4 を含まないグラフで α(G) ≤ 2 を満たすものについては、G はサイズ ⌈n/2⌉ のクリーク部分グラフを含み、これは埋め込み予想の成立を示唆する。
• α(G) ≤ 2 の場合の予想に対する最小反例は、α(H) ≤ 2 を満たすすべての4頂点グラフ H を誘導部分グラフとして含む必要がある。
• 証明により、H がこのような H のいずれの誘導部分グラフとも同型でない場合、G は最小反例にはなり得ないことが示され、このクラスに対して予想が正当化される。