[論文レビュー] Clique Minors in Cartesian Products of Graphs

David R. Wood|arXiv (Cornell University)|Nov 8, 2007

Advanced Graph Theory Research参考文献 53被引用数 12

ひとこと要約

本稿は、有界Hadwiger数をもつカルテシアン積 $G \square H$ の粗い構造的特徴付けを確立し、このような積が有界幅のバーテックスをもつ平面的・シリンダリカル・トーラス的グリッドであることを示している。$H$ が十分に多くの頂点をもつ、または $G$ が大きな木幅をもつとき、Hadwigerの予想が $G \square H$ に対して成り立つことを証明し、すべての積に対する予想の正当性を $G \square K_2$ の場合に還元することで、擬彩色分割と連結支配集合を通じてHadwiger数と木幅を結びつけた。

ABSTRACT

A "clique minor" in a graph G can be thought of as a set of connected subgraphs in G that are pairwise disjoint and pairwise adjacent. The "Hadwiger number" h(G) is the maximum cardinality of a clique minor in G. This paper studies clique minors in the Cartesian product G*H. Our main result is a rough structural characterisation theorem for Cartesian products with bounded Hadwiger number. It implies that if the product of two sufficiently large graphs has bounded Hadwiger number then it is one of the following graphs: - a planar grid with a vortex of bounded width in the outerface, - a cylindrical grid with a vortex of bounded width in each of the two `big' faces, or - a toroidal grid. Motivation for studying the Hadwiger number of a graph includes Hadwiger's Conjecture, which states that the chromatic number chi(G) <= h(G). It is open whether Hadwiger's Conjecture holds for every Cartesian product. We prove that if |V(H)|-1 >= chi(G) >= chi(H) then Hadwiger's Conjecture holds for G*H. On the other hand, we prove that Hadwiger's Conjecture holds for all Cartesian products if and only if it holds for all G * K_2. We then show that h(G * K_2) is tied to the treewidth of G. We also develop connections with pseudoachromatic colourings and connected dominating sets that imply near-tight bounds on the Hadwiger number of grid graphs (Cartesian products of paths) and Hamming graphs (Cartesian products of cliques).

研究の動機と目的

• 有界Hadwiger数をもつカルテシアン積 $G \square H$ の構造的形の特徴付けを行う。
• グラフのカルテシアン積に対するHadwigerの予想の正当性を調査する。
• $G \square K_2$ のHadwiger数と $G$ の木幅との関係を確立する。
• 擬彩色分割と支配集合を用いて、グリッドおよびハミンググラフのHadwiger数に対するタイトな漸近的上限を導出する。
• すべての積に対するHadwigerの予想の一般的正当性を、特別な場合 $G \square K_2$ への還元する。

提案手法

• 木幅、次数、および新しいパラメータ「ハングオーバー」と呼ばれるものを用いて、有界Hadwiger数をもつカルテシアン積を分類する粗い構造的特徴付け定理を用いる。
• ロバートソンとセイモアの一般的構造定理に基づき、グラフマイナー理論、バーテックス、クリーク和の技術を応用する。
• グリッドおよびハミンググラフのHadwiger数に対する近似的にタイトな下界を導出するために、擬彩色分割と連結支配集合を用いる。
• サビドゥッシの定理を用いて、$H$ が完全グラフであるとき、$G \square H$ の彩色数が $G$ の彩色数と関係することを示す。
• 最小次数グリーディアルゴリズムを用いて、彩色数を木幅の関数として評価し、これと $G \square K_2$ のHadwiger数を関連付ける。
• ハイパーキューブおよび辞書的積に関する結果を応用し、高次元積のHadwiger数に対する境界を強化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのような条件下で $G$ と $H$ に対してカルテシアン積 $G \square H$ が有界Hadwiger数をもつのか？
• RQ2 すべてのグラフのカルテシアン積に対してHadwigerの予想は成り立つのか？ その十分条件は何か？
• RQ3 $G \square K_2$ のHadwiger数は $G$ の木幅とどのように関係するか？
• RQ4 グリッドグラフおよびハミンググラフのHadwiger数に対して、近似的にタイトな漸近的境界を確立できるか？
• RQ5 すべての非自明な積 $G \square H$ に対してHadwigerの予想の正当性は、$G \square K_2$ の場合の正当性に還元可能か？

主な発見

• $G \square H$ のHadwiger数が有界であることは、$G$ もしくは $H$ の一方が有界木幅をもち、もう一方が有界次数をもつ、もしくは両方が有界ハングオーバーをもつとき、かつそのときに限り成り立つ。
• $G$ と $H$ が十分に大きく、$G \square H$ が有界Hadwiger数をもつならば、$G \square H$ は有界幅のバーテックスをもつ平面グリッド、もしくは2つのこのようなバーテックスをもつシリンダリカルグリッド、もしくはトーラス的グリッドである。
• $\chi(G) \geq \chi(H)$ であるとき、Hadwigerの予想は $H$ が $\chi(G)+1$ 個以上の頂点をもつ、もしくは $G$ が十分に大きな木幅をもつならば成り立つ。
• すべての非自明な積 $G \square H$ に対してHadwigerの予想の正当性は、$G \square K_2$ に対して成り立つことに等しい。
• $G \square K_2$ のHadwiger数は $G$ の木幅と関係しており、ある定数 $c$ に対して $\textup{tw}(G) \geq c\ell^4\sqrt{\log \ell}$ ならば $\eta(G \square K_2) \geq \ell$ が成り立つ。
• $d$ 次元積に対して、Hadwigerの予想がすべてのグラフで成り立つならば、$\eta(G_1 \square \cdots \square G_d) \geq (2^{d/4} - o(1)) \chi(G_1 \square \cdots \square G_d)$ が成り立ち、乗数を1から $d$ の指数関数的増加に改善する。