[論文レビュー] Clique number of random Cayley graph

Gyan Prakash|arXiv (Cornell University)|Nov 1, 2007

Limits and Structures in Graph Theory被引用数 1

ひとこと要約

この論文は、Ben Greenのランダムケイリー部分群のクリーク数に関する結果を拡張し、任意の位数nの有限アーベル群Gに対して、c(ω³(n)log ω(n) + log log n)を超えるサイズのクリークまたは独立集合を含まないケイリー部分群が存在することを示している。ここでc > 0は絶対定数であり、ω(n)はnの異なる素因数の個数である。この結果は、Greenの確率的技法の修正版を用いて、Z/pZ上のベクトル空間から任意の有限アーベル群へと既存の境界を一般化したものである。

ABSTRACT

Let G be a finite abelian group of order n. For any subset B of G with B = −B, the Cayley graph GB is a graph on vertex set G in which ij is an edge if and only if i − j ∈ B. It was shown by Ben Green [3] that when G is a vector space over a finite field Z/pZ, then there is a Cayley graph containing neither a complete subgraph nor an independent set of size more than c log n loglog n, where c> 0 is an absolute constant. In this article we observe that a modification of his arguments show that for an arbitrary finite abelian group, there is a Cayley graph containing neither a complete subgraph nor an independent set of size more than c ( ω 3 (n)log ω(n) + log log n) , where c> 0 is an absolute constant and ω(n) denotes the number of distinct prime divisors of n.

研究の動機と目的

• Z/pZ上のベクトル空間から任意の有限アーベル群へ、ケイリー部分群におけるラマセー型境界をGreenの結果から拡張すること。
• 一般の有限アーベル群上のランダムケイリー部分群における、最小のクリーク数または独立集合数を特定すること。
• 群の素因数分解、特にnの異なる素因数の個数ω(n)を介して依存するクリーク数の上界を確立すること。
• Greenの確率的構成を一般化することで、素数でない位数の群に対しても、クリーク数の上界がnに関して対数的でないことを示すこと。

提案手法

• Z/pZ上のベクトル空間に限定されない、任意の有限アーベル群におけるケイリー部分群を構成するために、Greenの確率的技法を適応すること。
• 有限アーベル群の構造、特にそのp-成分への分解を用いて、クリーク数の成長を制御すること。
• 生成集合BがB = −Bを満たすようにするランダム部分集合の構成を修正し、無向グラフを保証すること。
• 指数的モーメント推定と組合せ的数え上げを用いて、大きなクリークまたは独立集合が存在する確率を抑え込むこと。
• 群の算術的複雑性を反映するために、nの異なる素因数の個数ω(n)に依存するようにすること。
• 結果として得られるクリーク数の上界がc(ω³(n)log ω(n) + log log n)であることを確立し、c > 0は絶対定数である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ランダムケイリー部分群のクリーク数に関するラマセー型境界を、Z/pZ上のベクトル空間からすべての有限アーベル群へ拡張できるか？
• RQ2 群の位数nの異なる素因数の個数ω(n)が、ケイリー部分群におけるクリークまたは独立集合の最大サイズにどのように影響するか？
• RQ3 任意の有限アーベル群（位数n）におけるランダムケイリー部分群のクリーク数の最良上界は何か？
• RQ4 Greenの確率的構成を任意の有限アーベル群へ一般化した場合、クリーク数の上界が対数的でないか？
• RQ5 特にp-群への分解を含む群の構造が、そのケイリー部分群のラマセー性質にどのように影響するか？

主な発見

• 任意の位数nの有限アーベル群Gに対して、c(ω³(n)log ω(n) + log log n)を超えるサイズのクリークまたは独立集合を含まないケイリー部分群が存在する。ここでc > 0は絶対定数である。
• 上界はnの異なる素因数の個数ω(n)に依存し、群の算術的構造を反映している。
• この結果は、Z/pZ上のベクトル空間に対するGreenの以前の境界を、すべての有限アーベル群へ一般化したものである。
• 上界はnに関して対数的でない。なぜならlog log nとω³(n)log ω(n)は、nの任意の正のべきよりも遅く成長するからである。
• 構成は、群のp-成分への分解に適応されたGreenの確率的技法の修正版に依存している。
• 主な革新点は、ω(n)を上界に組み込むことであり、これは群の素因数分解がラマセー性質に与える影響を捉えている。