[論文レビュー] Clique-Width and Directed Width Measures for Answer-Set Programming

Bernhard Bliem, Sebastian Ordyniak+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 30, 2016

Logic, Reasoning, and Knowledge参考文献 34被引用数 10

ひとこと要約

本稿は、プログラムの符号付きインシデントグラフの符号付きクライク幅に基づく、固定パラメータ可 tractable (FPT) 動的計画法アルゴリズムを、排他的論理的プログラミング (ASP) に初めて導入する。ASP が符号付きクライク幅でパラメータ化された場合に FPT であることを示し、SAT を超える第二段階の多項式階層問題において、初めてそのような FPT アルゴリズムを提供する。一方で、依存グラフにおける多数の有向幅測度は FPT 結果をもたらさないことを示している。

ABSTRACT

Disjunctive Answer Set Programming (ASP) is a powerful declarative programming paradigm whose main decision problems are located on the second level of the polynomial hierarchy. Identifying tractable fragments and developing efficient algorithms for such fragments are thus important objectives in order to complement the sophisticated ASP systems available to date. Hard problems can become tractable if some problem parameter is bounded by a fixed constant; such problems are then called fixed-parameter tractable (FPT). While several FPT results for ASP exist, parameters that relate to directed or signed graphs representing the program at hand have been neglected so far. In this paper, we first give some negative observations showing that directed width measures on the dependency graph of a program do not lead to FPT results. We then consider the graph parameter of signed clique-width and present a novel dynamic programming algorithm that is FPT w.r.t. this parameter. Clique-width is more general than the well-known treewidth, and, to the best of our knowledge, ours is the first FPT algorithm for bounded clique-width for reasoning problems beyond SAT.

研究の動機と目的

• ASP プログラムの依存グラフにおける標準的有向幅測度が、固定パラメータ可 tractable (FPT) 結果をもたらすか否かを調査すること。
• 特に符号付きクライク幅を含むクライク幅の可能性を、ASP における FPT アルゴリズムの達成に向けた構造的パラメータとして探求すること。
• 符号付きクライク幅に関して FPT である、ASP のための新しい動的計画法アルゴリズムを開発すること。
• SAT を超えて、有界クライク幅下での多項式階層第二段階の推論問題に対する、最初の FPT 結果を確立すること。
• 不符号付きインシデントグラフのクライク幅に関して、ASP のパラメータ化された複雑さを調査すること。

提案手法

• NP完全性を示すクリーク問題から、排他的論理的プログラミング（ASP）プログラムへの還元を構築し、グラフ $G$ にサイズ $k$ のクリークが存在する場合と、プログラム $\Pi$ に答え集合が存在する場合が同値であることを示す。
• ASP プログラム $\Pi$ の符号付きインシデントグラフ $\textup{SINC}_{L}(\Pi)$ を定義し、原子、規則、およびそれらの依存関係を表すために頂点および辺にラベルを割り当てる。
• 頂点導入、直積集合、およびラベル操作（$\eta_{i,j}^{\ell}$）による辺追加を用いて、符号付きインシデントグラフの $k'$-表現を明示的に構築し、クライク幅が有界であることを保証する。
• 動的計画法アルゴリズムは、$k'$-表現を下位から上位へ処理し、部分解を保持するとともに、規則および原子の頂点間で整合性を保つ。
• グラフの有界クライク幅における MSO$_1$ 論理のコルセルのメタ定理を、ASP プログラムの特定構造に適合させることで、アルゴリズムが活用する。
• 構築されたプログラムの符号付きインシデントグラフが、クライク幅が最大 $k' = 2k + k^2$ であることを証明し、還元におけるパラメータが有界であることを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ASP プログラムの依存グラフにおける標準的有向幅測度は、ASP に対して固定パラメータ可 tractable (FPT) アルゴリズムをもたらすか？
• RQ2 特に第二段階の多項式階層の問題に対して、符号付きクライク幅は FPT アルゴリズムの達成に有効なパラメータとして適しているか？
• RQ3 有界な符号付きクライク幅を活用する動的計画法アルゴリズムを設計できるか？
• RQ4 不符号付きインシデントグラフのクライク幅に関して、ASP のパラメータ化された複雑さは XP か FPT か？
• RQ5 クライク幅における理論的 FPT 結果を、実用的かつ実装可能な ASP アルゴリズムに変換できるか？

主な発見

• 本稿の否定的結果により、ASP プログラムの依存グラフまたはインシデントグラフにおける多数の有向幅測度は、FPT 結果をもたらさないことが示された。
• 本稿は、グラフ $G$ にサイズ $k$ のクリークが存在する場合と、プログラム $\Pi$ に答え集合が存在する場合が同値であるような、排他的論理的プログラミング（ASP）プログラム $\Pi$ を構築した。これは、クリーク問題から ASP への還元を確立する。
• 構築されたプログラムの符号付きインシデントグラフ $\textup{SINC}_{L}(\Pi)$ は、クライク幅が最大 $k' = 2k + k^2$ であることが証明され、パラメータの有界性が保証された。
• 符号付きクライク幅でパラメータ化された場合に、FPT 時間で ASP を解く、新しい動的計画法アルゴリズムが提示された。ただし、$k'$-表現が与えられていることが前提である。
• これは、有界クライク幅下で、SAT を超える多項式階層第二段階の推論問題に対する、初めての FPT アルゴリズムである。
• クライク幅が小さいプログラムでは、特に接地段階や外部ツールを介して $k'$-表現が利用可能な場合、アルゴリズムは効率的に動作すると予想される。