[論文レビュー] Cliques in Odd-Minor-Free Graphs

Ken‐ichi Kawarabayashi, David R. Wood|arXiv (Cornell University)|Aug 15, 2011

Advanced Graph Theory Research参考文献 33被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、奇的マイナーを含まないグラフが高々 $O(n^2)$ 個のクリークを含むことを確立しており、これは完全二部グラフ $K_{n,n}$ によってタイトであることが示されている。本論文は、構造的分解と再帰的クリーク列挙法を活用して、このようなグラフにおけるすべてのクリークを $O(n^3)$ 時間で列挙するアルゴリズムを提示する。

ABSTRACT

This paper is about: (1) bounds on the number of cliques in a graph in a particular class, and (2) algorithms for listing all cliques in a graph. We present a simple algorithm that lists all cliques in an $n$-vertex graph in O(n) time per clique. For O(1)-degenerate graphs, such as graphs excluding a fixed minor, we describe a O(n) time algorithm for listing all cliques. We prove that graphs excluding a fixed odd-minor have $O(n^2)$ cliques (which is tight), and conclude a $O(n^3)$ time algorithm for listing all cliques.

研究の動機と目的

• 奇的マイナーを含まないグラフにおけるクリークの数に対するタイトな上界を確立すること。
• 奇的マイナーを含まないグラフにおけるすべてのクリークを列挙する効率的なアルゴリズムを開発すること。
• 既知のマイナーを含まないグラフにおけるクリーク列挙の結果を、より広いクラスの奇的マイナーを含まないグラフへと拡張すること。
• extremal な例（例えば $K_{n,n}$）を提示することで、$O(n^2)$ のクリークの上限がタイトであることを示すこと。

提案手法

• 各頂点について、それを含むすべてのクリークと含まないすべてのクリークを列挙する再帰的クリーク列挙アルゴリズムを使用する。
• 奇的マイナーを含まないグラフを、$(\leq h)$-和として $h$-ほぼ二部グラフまたは $h$-ほぼ表面埋め込み可能グラフに分解する構造的分解定理を適用する。
• グラフの分解木における帰納法を用いて、各成分におけるクリークの数とそれらの組み合わせのクリーク数を上界づける。
• 各成分が $O(n_i^2)$ 個のクリークをもち、$k$-クリークを持たないならば、結合されたグラフは $O(n^2)$ 個のクリークをもつことを示す重要な補題を用いる。
• 奇的マイナーを含まないグラフは固定された奇的マイナーを除外するため、有界な拡張性を持ち、クリークの成長が制御可能であることを活用する。
• クリーク列挙アルゴリズムと $O(n^2)$ のクリーク数の上限を組み合わせることで、すべてのクリークを列挙する総実行時間が $O(n^3)$ になることを達成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 奇的マイナーを含まない $n$ 頂点のグラフにおけるクリークの最大数は何か？
• RQ2 奇的マイナーを含まないグラフにおいて、すべてのクリークを効率的に列挙するアルゴリズムは存在するか？ その時間計算量は？
• RQ3 奇的マイナーを含まないグラフにおける $O(n^2)$ のクリーク数の上限はタイトか？
• RQ4 奇的マイナーを含まないグラフにおけるクリーク構造は、マイナーを含まないグラフにおけるものとどのように異なるか？
• RQ5 構造的分解定理を活用してクリーク数を上界づけ、効率的な列挙を可能にすることができるか？

主な発見

• 任意の $n$ 頂点の奇的マイナー $H$ を含まないグラフは、定数 $c$（$H$ に依存）を用いて高々 $cn^2$ 個のクリークを含み、この上限はタイトである。
• $K_{n,n}$ は奇的マイナー $K_3$ を含まないが、$\Theta(n^2)$ 個のクリークを含むため、$O(n^2)$ の上限が漸近的にタイトであることが証明される。
• 任意の $n$ 頂点の奇的マイナーを含まないグラフにおいて、すべてのクリークを列挙する $O(n^3)$ 時間のアルゴリズムが存在する。
• 一般のグラフでは $2^n$ 個のクリークを含む可能性があるのに対し、このようなグラフにおけるクリーク数は多項式的に有界である。
• $h$-ほぼ二部グラフまたは $h$-ほぼ表面埋め込み可能グラフへの奇的マイナーを含まないグラフの構造的分解は、帰納法によるクリーク数の数え上げを可能にする。
• 再帰的クリーク列挙アルゴリズムは、1つのクリークあたり $O(n)$ 時間で実行され、$O(n^2)$ のクリーク数の上限と組み合わせることで、総実行時間が $O(n^3)$ になる。