[論文レビュー] Cloaking via change of variables in elastic impedance tomography

André Diatta, Sébastien Guenneau|arXiv (Cornell University)|Jun 19, 2013

Electromagnetic Scattering and Analysis参考文献 12被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、境界測定による検出を不可能にするために変数変換技術を用いた弾性インピーダンストモグラフィーにおける変換ベースのクローキング手法を提案する。適切な変換を用いることで、クローキングされた弾性媒体のディリクレ・ツー・ノイマン写像が均質媒体のそれと非常に近くなることを証明し、近似的に見えないインクルージョンを実現する。2次元および3次元の有限要素シミュレーションにより数値的検証が行われた。

ABSTRACT

We discuss the concept of cloaking for elastic impedance tomography, in which, we seek information on the elasticity tensor of an elastic medium from the knowledge of measurements on its boundary. We derive some theoretical results illustrated by some numerical simulations.

研究の動機と目的

• 電気的および音響的インピーダンストモグラフィーにおけるクローキング概念を、剪切波と圧縮波が結合する弾性媒質へと拡張すること。
• 弾性インピーダンストモグラフィーにおいて境界測定によってインクルージョンが検出不能になる理論的条件を確立すること。
• 変換された弾性テンソルが均質媒体のディリクレ・ツー・ノイマン写像をほぼ保存することを示すこと。
• 2次元および3次元の設定において、有限要素法を用いて理論的枠組みを検証すること。

提案手法

• 物理的領域にコアインクルージョンを持つものを、変換Fを用いてクローキング領域に写像する。変換Fによるプッシュフォワードを用いて弾性テンソルを変換する。
• 変換Fのヤコビアンを用いて変換されたナビエ方程式および弾性テンソルを導出する。これにより、新たなテンソルが同じ境界応答を維持することを保証する。
• リース表現定理を適用して境界における応力テンソルのトレースを定義し、ディリクレ・ツー・ノイマン写像の構築を可能にする。
• クローキングされた媒体と均質媒体のディリクレ・ツー・ノイマン写像の差が、ρⁿのオーダーで有界であることを確立する。ここでρはコアの半径である。
• 境界力が作用する弾性静力学方程式の弱形式を数値的に解くために有限要素法を用いる。
• 変位の大きさの数値的可視化を用いて、クローキングされた場合とされない場合の境界場がほぼ同一であることを示し、近似的にクローキングされていることを実証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 変数変換に基づく手法を用いて、電磁気的または音響的クローキングと同様に、インピーダンストモグラフィーにおける弾性クローキングを達成できるか？
• RQ2 クローキングされた弾性媒体のディリクレ・ツー・ノイマン写像が、均質媒体のそれとほぼ等しくなる条件は何か？
• RQ3 コアインクルージョンのサイズは、弾性インピーダンストモグラフィーにおけるクローキング効果の正確さにどのように影響するか？
• RQ4 有限要素シミュレーションは、2次元および3次元の弾性媒質における理論的予測の近似的にクローキングを再現できるか？

主な発見

• 理論的解析により、コアインクルージョンの半径をρとしたとき、クローキングされた弾性媒体のディリクレ・ツー・ノイマン写像が、O(ρⁿ)の誤差で均質媒体のそれと近似されることを示した。
• ρが小さい場合、クローキングされた媒体の境界測定値は、均質媒体のそれとほとんど区別がつかないため、効果的なクローキングが実現されている。
• 2次元の数値シミュレーションにより、境界力が同一の条件下で、クローキング領域における変位場の大きさが非クローキング領域とほぼ同一であることが確認された。
• 有限要素法の結果から、変位の大きさのカラースケールの範囲がクローキングされた場合に著しく縮小されており、場の摂動が抑制されていることが示された。
• 指定された変換Fのもとで、クローキング効果は安定しており、コア領域がより大きな領域に写像されつつも、境界応答が保持されている。
• 本研究は、変数変換による弾性クローキングが弾性静力学において実現可能であることを確認し、今後のフル波動および動的弾性クローキングの研究を支援する。