[論文レビュー] Clock Time and Entropy

Don N. Page|ArXiv.org|Mar 12, 1993

Quantum Mechanics and Applications参考文献 7被引用数 15

ひとこと要約

この論文は、空間的超曲面上での条件付き確率を用い、時計観測量に条件づけられた密度行列を用いて、量子宇宙論における時刻を定義することを提案する。エントロピーは、部分系の縮約密度行列によって定義され、時刻とともに振動することを示し、単調増加の仮定に反する。また、量子宇宙における熱力学的時間の矢をよりよく捉えるために、観測可能なエントロピー演算子の導入を主張する。

ABSTRACT

Testable conditional probabilities appear to be restricted to single hypersurfaces (marvelous moments) and depend only on stationary observables. Observable evolution, such as a change of entropy, should be expressed as a dependence upon clock time, not upon inaccessible coordinate time.

研究の動機と目的

• テスト可能な、単一の時空的超曲面上の条件付き確率に根ざした、量子力学における時間の根本的問題に取り組む。
• 閉じた量子宇宙において、エントロピーが時計時刻の関数として意味的に定義可能かどうかを調査する。
• エントロピーが時間とともに単調に増加すると仮定するのを、縮約密度行列によって定義された場合にエントロピーが振動することを示すことによって挑戦する。
• その期待値が時計時刻とともに変化する観測可能なエントロピー演算子を定義するフレームワークを提唱する。

提案手法

• 粗粒度化歴史の確率を定義するために一貫性のある歴史のアプローチを用い、確率公理を満たすためにデコherenceが必要である。
• テスト可能な条件付き確率を、超曲面上の射影演算子を用いて適用し、形式 $ p(A|B) = \mathrm{Tr}(P_A P_B \rho P_B) / \mathrm{Tr}(P_B \rho P_B) $ をとる。ここで $ \rho $ は宇宙の密度行列である。
• 時計観測量 $ T $ を導入し、状態を特定の時計時刻に制限する条件付き密度行列 $ \rho_T $ を定義する。
• 部分系の縮約密度行列から、粗粒度化エントロピー $ S_{T,\text{coarse}} = -\sum_i \mathrm{tr}(\rho_{T,i} \ln \rho_{T,i}) $ を計算する。
• 観測可能なエントロピー演算子 $ \widehat{S} $ を提唱し、条件付き期待値を $ S_{T,\text{observable}} = \mathrm{Tr}(P_T \widehat{S} P_T \overline{\rho}) / \mathrm{Tr}(P_T \overline{\rho}) $ と定義する。
• 1つのスピンが時計として機能する3スピン系を分析し、ハミルトニアンの正確な解を用いて時刻依存エントロピーを計算する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 テスト可能な、単一の超曲面上の条件付き確率のみを用いて、量子宇宙における時刻を定義できるか？
• RQ2 部分系の縮約密度行列によって定義されたエントロピーは、時計時刻とともにどのように変化するか？
• RQ3 閉じた量子宇宙のエントロピーは、時計時刻とともに必然的に単調に増加するのか？
• RQ4 その条件付き期待値が時計時刻とともに増加するような、観測可能なエントロピー演算子を構成できるか？
• RQ5 量子相関（もつれ）は、閉じた系におけるエントロピーの時間発展において果たす役割は何か？

主な発見

• 部分系の縮約密度行列によって定義されたエントロピーは、時計時刻とともに振動し、$ T = (n+1/2)\pi $ で最大値 $ 2\ln 2 $ をとり、$ T = n\pi $ でゼロに達する。これは非単調な振るまいを示している。
• 粗粒度化エントロピー $ S_{T,\text{coarse}} $ は、個々の部分系のフォン・ノイマンエントロピーの和として計算され、量子コherenceのための時間依存的振動を示す。
• 総合的密度行列 $ \rho_T $ が純粋状態（エントロピーがゼロ）であっても、もつれのため部分系のエントロピーが非ゼロになることがある。これは、粗粒度化が熱力学的振るまいを明らかにすることを示している。
• 条件付き確率フレームワークは、単一の超曲面上に局在した観測のみを許容する。これは、過去が現在の記録を通じてのみアクセス可能であるという考えを支持する。
• エントロピーの周期的振るまいは、宇宙の全体系のユニタリー時間発展だけからでは、熱力学的時間の矢を導出できないことを示唆する。
• 時計時刻とともにエントロピーが単調に増加するのを回復するには、真に観測可能なエントロピー演算子 $ \widehat{S} $ が必要であるが、このモデルではまだそのような演算子は構成されていない。