[論文レビュー] Cloning and Broadcasting in Generic Probabilistic Theories

Howard Barnum, Jonathan Barrett+2 more|ArXiv.org|Nov 30, 2006

Quantum Mechanics and Applications参考文献 43被引用数 63

ひとこと要約

この論文は、凸集合の枠組みを用いて、有限次元の確率的理論における一般化されたノーコピーやノーエンベロープの定理を確立する。ブロードキャストが可能であるのは、区別可能なコピー可能な状態によって張られる単体に状態が含まれる場合に限る。これは、量子理論における可換な密度行列の条件を一般化し、非局所的相関を持つ超量子理論に対しても同様の結果が成り立つことを示している。

ABSTRACT

We prove generic versions of the no-cloning and no-broadcasting theorems, applicable to essentially {\em any} non-classical finite-dimensional probabilistic model that satisfies a no-signaling criterion. This includes quantum theory as well as models supporting ``super-quantum'' correlations that violate the Bell inequalities to a larger extent than quantum theory. The proof of our no-broadcasting theorem is significantly more natural and more self-contained than others we have seen: we show that a set of states is broadcastable if, and only if, it is contained in a simplex whose vertices are cloneable, and therefore distinguishable by a single measurement. This necessary and sufficient condition generalizes the quantum requirement that a broadcastable set of states commute.

研究の動機と目的

• 量子理論を超える一般化された有限次元確率的モデルにおけるクローン化およびブロードキャストの必要十分条件を特定すること。
• 量子力学の情報理論的特徴が非古典的確率的理論全体に共通するものであるかを明確化すること。
• ノーブロードキャスト定理の自己完結的で直感的な証明を提供し、従来の量子特化型の導出を一般化・簡略化すること。
• ノーブロードキャストやノービットコミットメントといった原理が一般化された確率的モデルにおいて普遍的であるかどうかを調査すること。
• 凸集合およびテンソル積が、超量子相関を有する理論における状態クローン化およびブロードキャストを特徴付ける役割を果たすかを検討すること。

提案手法

• 状態空間をコンパクトな凸集合とし、効果をアフィン汎関数として定義する凸集合の枠組みを用い、単位関数を順序単位とする。
• 状態空間からテンソル積空間へのアフィン写像としてクローン化およびブロードキャストを定義し、測定における状態確率を保存することを要件とする。
• 非負行列（可約なものも含む）に対する拡張されたペロン＝フロベニウス理論を用いて、状態ベクトル上の確率的写像の不動点を分析する。
• ブロードキャスト可能な状態の集合が、区別可能でコピー可能な頂点を持つ単体であることを示し、確率的行列の不動点部分空間の構造を用いる。
• ブロードキャストが可能であるのは、状態集合が区別可能な状態によって生成される単体に含まれる場合に限ることを確立し、量子理論における可換性の条件を一般化する。
• 合成系をモデル化し、非局所的相関（PRボックスのような挙動を含む）を分析するために、凸集合の最大（埋め込み型）テンソル積を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どの状態集合が、ノーサイニングを満たす任意の有限次元非古典的確率的モデルにおいてクローン可能であるか？
• RQ2 一般化された確率的理論において、状態集合がブロードキャスト可能であるための必要十分条件は何か？
• RQ3 ノーブロードキャスト定理は、量子力学を超えて、より強い非局所的相関を有する理論へどのように一般化されるか？
• RQ4 ノーブロードキャストやノービットコミットメントといった原理は、一般化された確率的理論の普遍的特徴であるか？
• RQ5 状態空間の構造およびそのテンソル積を用いて、量子理論と他の非古典的理論を区別できるか？

主な発見

• 状態集合が、単一の測定で区別可能で、アフィン写像によってコピー可能な状態の頂点によって張られる単体に含まれるとき、かつそのときに限り、ブロードキャスト可能である。
• ノーブロードキャスト定理は、量子理論に限らず、すべての非古典的有限次元確率的モデルにおいて普遍的に成り立つ。
• ノーブロードキャスト定理の証明は自己完結的であり、Lindbladの定理や量子特化型の形式的記法に依存せず、非負行列に対するペロン＝フロベニウス理論に基づいている。
• アフィン写像によってブロードキャスト可能な状態の集合は、頂点が区別可能な状態である単体を形成するが、元の状態集合が単体でなくても成り立つ。
• この枠組みは、超量子相関（例：PRボックス）を有するモデルを含み、ノーブロードキャストが非古典性の特徴であることを示しており、量子力学に特有のものではない。
• この枠組みではトランスポートーションが普遍的でないため、すべての量子情報プロトコルが非古典的理論において普遍的であるとは限らない。