[論文レビュー] Closed characteristics on compact convex hypersurfaces in $\R^{2n}$

Yiming Long, Chaofeng Zhu|ArXiv.org|Sep 18, 2001

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 21被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、内部が空でない任意の $C^2$ 級コンパクトな凸超曲面 $\Sigma \subset \mathbb{R}^{2n}$ に対して、少なくとも $\varrho_n(\Sigma) \geq \lfloor n/2 \rfloor + 1$ 個の幾何学的に異なる閉じた特徴が存在することを確立する。すべての閉じた特徴が非退化である場合、$\varrho_n(\Sigma) \geq n$ が成り立ち、総数が有限の場合、少なくとも1つは楕円型の閉じた特徴が存在し、$\varrho_n(\Sigma) - 1$ 個の特徴が無理数平均インデックスを持つ。さらに、総数が $2\varrho_n(\Sigma) - 2$ 以下である場合、少なくとも2つの楕円型特徴が存在する。これらの結果は、ハミルトニアン・フローのエネルギー等高面 $H_\alpha^{-1}(1)$ 上でのシンプレクティック位相幾何学とインデックス理論を用いて導出される。主な貢献は、幾何学的に異なる閉じた特徴の最小個数とその力学的性質を制御する新しい不変量 $\varrho_n(\Sigma)$ の導入である。

ABSTRACT

For any given compact C^2 hypersurface Σin {\bf R}^{2n} bounding a strictly convex set with nonempty interior, in this paper an invariant \varrho_n(Σ) is defined and satisfies \varrho_n(Σ)\ge [n/2]+1, where [a] denotes the greatest integer which is not greater than a\in {\bf R}. The following results are proved in this paper. There always exist at least ρ_n(Σ) geometrically distinct closed characteristics on Σ. If all the geometrically distinct closed characteristics on Σare nondegenerate, then \varrho_n(Σ)\ge n. If the total number of geometrically distinct closed characteristics on Σis finite, there exists at least an elliptic one among them, and there exist at least \varrho_n(Σ)-1 of them possessing irrational mean indices. If this total number is at most 2\varrho_n(Σ) -2, there exist at least two elliptic ones among them.

研究の動機と目的

• コンパクトな $C^2$ 級凸超曲面 $\Sigma \subset \mathbb{R}^{2n}$ 上の幾何学的に異なる閉じた特徴の個数に対する下界を確立すること。
• そのような閉じた特徴の最小個数を制御する新しいシンプレクティック不変量 $\varrho_n(\Sigma)$ を定義し、その分析を行うこと。
• 有限性の仮定の下で、閉じた特徴の力学的性質（非退化性、楕円型、無理数平均インデックスなど）を調査すること。
• 閉じた特徴に関する以前の結果を一般化・洗練すること、特に、総数が小さい場合に少なくとも2つの楕円型特徴が存在することを示すこと。

提案手法

• 超曲面 $\Sigma$ で囲まれる凸体 $C$ のゲージ関数 $j_C(x)$ を定義し、$\alpha \in (1,2)$ に対して $H_\alpha(x) = j_C(x)^\alpha$ とし、$\Sigma = H_\alpha^{-1}(1)$ となるように構成する。
• ハミルトニアン系 $\dot{x} = J H_\alpha'(x)$ を $H_\alpha(x) = 1$ の下で用い、閉じた特徴をフローの $1$-周期的解としてモデル化する。
• 特にマスロフ型インデックス理論と $S^1$--equivariant cohomology（Fadell-Rabinowitz インデックス）を用いたシンプレクティック位相的技法を適用し、ループ空間上の作用関数の臨界点を分析する。
• 各閉じた特徴に付随するシンプレクティックパスのフロケト乗数の分割数と最終的型を用いて、$\diamond$-積分解を用いたシンプレクティック行列の分解を通じて、不変量 $\varrho_n(\Sigma)$ を定義する。
• スペクトルフローとインデックス反復公式を用い、反復された閉じた特徴のモーレ型インデックス $i(\gamma, m)$ と退化度 $\nu(\gamma, m)$ をモノドロミー行列 $\gamma(\tau)$ の位相的構造に関連付ける。
• Fadell-Rabinowitz の $S^1$-コhomological インデックスを用いて臨界軌道のカテゴリーを制御し、幾何学的に異なる閉じた特徴の個数に対する下界を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の $\Sigma \in \mathcal{H}(2n)$ に対して、幾何学的に異なる閉じた特徴の最小個数は何か？
• RQ2 新しい不変量 $\varrho_n(\Sigma)$ は、$\Sigma$ 上の閉じた特徴の個数とその力学的型（楕円型、非退化、放物型）とどのように関係しているか？
• RQ3 幾何学的に異なる閉じた特徴の個数が有限である場合、少なくとも1つが楕円型であることを保証する条件は何か？
• RQ4 $\varrho_n(\Sigma)$ を用いて、無理数平均インデックスを持つ閉じた特徴の個数を下から抑えられるか？
• RQ5 総数が $2\varrho_n(\Sigma) - 2$ 以下である場合、楕円型閉じた特徴の最小個数は何か？

主な発見

• 任意の $\Sigma \in \mathcal{H}(2n)$ に対して、少なくとも $\varrho_n(\Sigma) \geq \lfloor n/2 \rfloor + 1$ 個の幾何学的に異なる閉じた特徴が存在する。
• すべての幾何学的に異なる閉じた特徴が非退化である場合、$\varrho_n(\Sigma) \geq n$ が成り立ち、下界が改善される。
• 幾何学的に異なる閉じた特徴の総数が有限である場合、少なくとも1つは楕円型であり、$\varrho_n(\Sigma) - 1$ 個の特徴が無理数平均インデックスを持つ。
• 幾何学的に異なる閉じた特徴の総数が $2\varrho_n(\Sigma) - 2$ 以下である場合、少なくとも2つの楕円型特徴が存在する。
• $\varrho_n(\Sigma)$ は、各閉じた特徴に付随するシンプレクティックパスのフロケト乗数の分割数と最終的型を用いて定義され、超曲面の $C^1$-摂動に対して不変である。
• 結果は、$S^1$-equivariant Fadell-Rabinowitz コホモロジーインデックスとインデックス反復公式を用いて導出され、ループ空間の位相的複雑さとモノドロミー行列のスペクトルデータとの関係が明らかになる。