[論文レビュー] Closed choice: Cardinality vs convex dimension

Stéphane Le Roux, Arno Pauly|arXiv (Cornell University)|Feb 2, 2013

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ひとこと要約

この論文は、有限集合と凸集合における選択公理の計算的強度を比較するため、Weihrauch格子を調査する。選択から(n+1)要素の集合は、n次元の凸集合からの選択に還元可能であるが、(n−1)次元の凸集合からの選択には還元不可能であることが示され、有限集合の濃度と凸集合の次元の間には、Weihrauch次数において正確な対応関係があることが明らかになった。さらに、連続関数における有限個の零点の存在は、有限個の局所極値の存在よりも厳密に弱いことが示された。

ABSTRACT

We investigate choice principles in the Weihrauch lattice for finite sets on the one hand, and convex sets on the other hand. Increasing cardinality and increasing dimension both correspond to increasing Weihrauch degrees. Moreover, we demonstrate that the dimension of convex sets can be characterized by the cardinality of finite sets encodable into them. Precisely, choice from an n + 1 point set is reducible to choice from a convex set of dimension n, but not reducible to choice from a convex set of dimension n - 1. Furthermore we consider searching for zeros of continuous functions, and demonstrate that having finitely many zeros is a strictly weaker condition than having finitely many local extrema.

研究の動機と目的

• Weihrauch格子の枠組みを用いて、有限集合と凸集合における選択公理の計算的複雑性を比較すること。
• 有限集合の濃度を増加させることと、凸集合の次元を増加させることとの間のWeihrauch還元性における関係を特定すること。
• 選択公理を通じて埋め込める有限集合の濃度によって、凸集合の次元を特徴付けること。
• 連続関数に関する条件の相対的強さを調査すること、特に有限個の零点の存在と有限個の局所極値の存在の比較。

提案手法

• Weihrauch格子を用いて、有限集合と凸集合における選択関数の計算的強度を分類・比較する。
• 還元関係を用いて、(n+1)点集合からの選択とn次元凸集合からの選択を比較する。
• n次元凸集合からの選択が、(n+1)点集合からの選択を計算可能にできることを示すが、逆は成り立たないことを示す。
• 連続関数を分析し、零点を求めるのと局所極値を求めるのとの計算的困難さを比較する。
• 有限集合を凸集合に埋め込むための符号化技術を用い、濃度と次元の関係を結びつける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限集合の濃度と凸集合の次元との間には、Weihrauch次数においてどのような関係があるか？
• RQ2 (n+1)点集合からの選択は、n次元凸集合からの選択に還元可能か？
• RQ3 (n+1)点集合からの選択は、(n−1)次元凸集合からの選択に還元可能か？
• RQ4 連続関数において、零点を求める計算的複雑性と局所極値を求める計算的複雑性の比較は？
• RQ5 選択公理を通じて埋め込める有限集合の濃度によって、凸集合の次元を特徴付けることができるか？

主な発見

• (n+1)点集合からの選択は、Weihrauch還元によってn次元凸集合からの選択に還元可能である。
• (n+1)点集合からの選択は、Weihrauch還元によって(n−1)次元凸集合からの選択に還元可能でない。
• 凸集合の次元は、選択公理を通じて埋め込める有限集合の最大濃度に正確に対応する。
• 連続関数において有限個の零点を持つという条件は、Weihrauch格子において、有限個の局所極値を持つという条件よりも厳密に弱い。
• 選択のWeihrauch次数は、有限集合の濃度と凸集合の次元の両方とともに増加し、階層が確立される。