[論文レビュー] Closed exact Lagrangians in the symplectization of contact manifolds

Emmy Murphy|arXiv (Cornell University)|Apr 24, 2013

Geometric and Algebraic Topology参考文献 1被引用数 11

ひとこと要約

本稿では、次のような特異接触多様体のシンプレクティゼーションにおいて、次元が3より大きいものについて、任意の閉多様体の形式的ラグランジュ埋め込みが、正確なラグランジュ埋め込みにホモトープであることを確立する。具体的には、球面的コアと自明な回転を持つ小さなプラスティクシュテューフを含む接触多様体について、そのような正確なラグランジュ部分多様体は豊富に存在し、ハミルトニアンホモトピーによって分離可能であり、多くの場合、ホモトピー的に自明である。この性質は、これらの文脈におけるレジェンドリアン部分多様体のゆるさに起因する。

ABSTRACT

For a certain class of exotic contact manifolds of dimension greater than 3, we show that there is an abundance of closed exact Lagrangians in their symplectization. All of these Lagrangians are displaceable by Hamiltonian isotopy, and many of the examples are nulhomotopic.

研究の動機と目的

• 球面的コアと自明な回転を持つ小さなプラスティクシュテューフを含む接触多様体のシンプレクティゼーションに、閉じた正確ラグランジュ部分多様体が存在することを確立すること。
• このようなシンプレクティゼーションにおける形式的ラグランジュ埋め込みが、ハミルトニアンホモトピーを用いて正確ラグランジュ埋め込みにホモトープであることを示すこと。
• 得られた正確ラグランジュ部分多様体が分離可能であり、多くの場合ホモトピー的に自明であることを示し、その位相的およびシンプレクティック的性質を強調すること。
• ローマン・レジェンドリアンと形式的ラグランジュホモトピーの理論をシンプレクティゼーションの文脈に拡張し、正確化のための構成的技法を提供すること。

提案手法

• 接触多様体 Y に球面的コアと自明な回転を持つ小さなプラスティクシュテューフが存在することを仮定し、それにより命題2を用いて特定のレジェンドリアン部分多様体のゆるさを保証する。
• 境界がゆるいレジェンドリアンに従う形式的ラグランジュ埋め込みの場合は、その埋め込みが正確ラグランジュ埋め込みにホモトープであるという命題3を適用する。
• 形式的ラグランジュ埋め込み f:L→ℝ×Y を構成し、滑らかなホモトピーを用いて、L 内のディスク D をダーブォー座標におけるレジェンドリアン・アンコツの標準ラグランジュ充填と一致させる。
• ℝ×Y∖{γ} 上の負のリウヴィルフローの完全性を用いて、シンプレクティゼーションを穴あき球体の完成として実現し、標準ラグランジュモデルの使用を可能にする。
• ハミルトニアンホモトピーを用いて、f のラグランジュでない部分を t≤0 領域から離し、D 上のラグランジュ構造を保ちつつ、正確化結果の適用を可能にする。
• シンプレクティゼーションにおける正確ラグランジュ部分多様体が、t シフトが正確性を保存することにより、ハミルトニアンに分離可能であるという事実に依拠する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 小さなプラスティクシュテューフを含む接触多様体のシンプレクティゼーションにおける形式的ラグランジュ埋め込みは、正確ラグランジュ埋め込みに変形可能か？
• RQ2 得られた正確ラグランジュ部分多様体は、特に分離可能性とホモトピー的性質に関して、どのような位相的およびシンプレクティック的性質を持つのか？
• RQ3 プラスティクシュテューフの存在は、シンプレクティゼーションにおける正確ラグランジュ部分多様体の存在と分類にどのように影響するか？
• RQ4 ローマン・レジェンドリアンは、シンプレクティゼーションにおける正確ラグランジュ部分多様体の構成にどの程度利用可能か？

主な発見

• 球面的コアと自明な回転を持つ小さなプラスティクシュテューフを含む接触多様体のシンプレクティゼーションへの任意の形式的ラグランジュ埋め込みは、正確ラグランジュ埋め込みにホモトープである。
• 得られた正確ラグランジュ部分多様体は、ハミルトニアンに分離可能である。これは、シンプレクティゼーションにおける t シフトが正確性を保存し、不交なコピーへのホモトピーを可能にするためである。
• 構成された正確ラグランジュ部分多様体の多くはホモトピー的に自明である。これは、それらの埋め込みに非自明な位相的制約があることを示唆している。
• 次元が3より大きい任意の接触多様体において、自明な回転を持つ小さなプラスティクシュテューフが存在する限り、このような正確ラグランジュ部分多様体の存在が保証される。
• この構成は有効的かつ構成的である。形式的ラグランジュ埋め込みが与えられたとき、プラスティクシュテューフが存在しない状況におけるレジェンドリアン・アンコツのゆるさを用いて、明示的にホモトープに正確ラグランジュ埋め込みに変形可能である。