[論文レビュー] Closed form distance formula for the balanced multiple travelling salesmen

Wolfgang Garn|arXiv (Cornell University)|Jan 21, 2020

Vehicle Routing Optimization Methods参考文献 24被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、一様に分布するn個の点への期待最小距離から導出された、ユークリッドグリッドにおけるバランスドな複数巡回セールスマン問題（mTSP）の閉形式距離式を提案する。2つのヒューリスティクス—最近傍ノードおよび最近傍車両—を導入し、セールスマン数を増やすと距離が概ね線形に増加し、顧客数の平方根に比例することを示し、ヒューリスティクスや正確な手法を走らせることなく高速に推定可能である。

ABSTRACT

As a first contribution the mTSP is solved using an exact method and two heuristics, where the number of nodes per route is balanced. The first heuristic uses a nearest node approach and the second assigns the closest vehicle (salesman). A comparison of heuristics with test-instances being in the Euclidean plane showed similar solution quality and runtime. On average, the nearest node solutions are approximately one percent better. The closest vehicle heuristic is especially important when the nodes (customers) are not known in advance, e.g. for online routing. Whilst the nearest node is preferable when one vehicle has to be used multiple times to service all customers. The second contribution is a closed form formula that describes the mTSP distance dependent on the number of vehicles and customers. Increasing the number of salesman results in an approximately linear distance growth for uniformly distributed nodes in a Euclidean grid plane. The distance growth is almost proportional to the square root of number of customers (nodes). These two insights are combined in a single formula. The minimum distance of a node to $n$ uniformly distributed random (real and integer) points was derived and expressed as functional relationship dependent on the number of vehicles. This gives theoretical underpinnings and is in agreement with the distances found via the previous mTSP heuristics. Hence, this allows to compute all expected mTSP distances without the need of running the heuristics.

研究の動機と目的

• ヒューリスティクスや正確なアルゴリズムを走らせることなく、mTSP総距離を推定する理論的基盤を構築すること。
• 一様に分布するノードのシナリオにおいて、セールスマン数を増加させた際の総ルート距離への影響を分析すること。
• バランスドmTSPインスタンスにおける解の品質と実行時間の観点から、最近傍ノードと最近傍車両のヒューリスティクスを比較すること。
• 統計的距離モデルを用いて、期待mTSP距離、車両数、顧客数の間の関数的関係を導出すること。
• ヒューリスティクスや正確な手法を走らせることなく、ユークリッドグリッドにおけるmTSP距離を予測する計算効率の良い代替手法を提供すること。

提案手法

• 各ステップで未訪問ノードの中で最も近いノードを選択する最近傍ノードヒューリスティクスを用い、ルート長がバランスされるようにする。
• 各新しい顧客を利用可能なセールスマンの中で最も近いものに割り当てる最近傍車両ヒューリスティクスを用い、オンラインまたは動的ルーティングに適している。
• 単位区間および2次元グリッド上に一様に分布するn個のランダムな点への期待最小距離を、順序統計を用いて導出する。
• 導出された期待最小距離を用いて、mTSPの総距離をモデル化し、車両数とノード数を組み合わせて閉形式の式を構築する。
• ユークリッドグリッドインスタンスにおいてヒューリスティクス結果と照合し、シミュレートされたmTSP解と強い一致を示している。
• 小規模なインスタンスにおける正確なmTSP解の基準として、整数プログラミング定式化と部分巡回除去制約（例：Miller-Tucker-Zemlin）を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ノードが2次元ユークリッドグリッドに一様に分布する場合、セールスマン数を増加させるとmTSP総距離はどのように変化するか？
• RQ2 点からn個の一様に分布する点への期待最小距離との関数的関係は何か？ そして、この関係をmTSP総距離のモデル化にどう応用できるか？
• RQ3 バランスドmTSPインスタンスにおいて、最近傍ノードヒューリスティクスと最近傍車両ヒューリスティクスは、解の品質と実行時間の観点でどのように比較できるか？
• RQ4 ヒューリスティクスや正確な手法を走らせることなく、閉形式の式がmTSP距離を正確に予測できるか？
• RQ5 より多くのセールスマンを追加した際の総距離の線形増加の理論的根拠は何か？ また、これは顧客数の平方根とどのように関係しているか？

主な発見

• ノードがユークリッドグリッドに一様に分布する場合、mTSPの総距離はセールスマン数に対して概ね線形に増加する。
• 距離の増加は顧客数（ノード数）の平方根に概ね比例しており、これは部分線形スケーリング効果を示している。
• テストされたインスタンスにおいて、最近傍ノードヒューリスティクスは最近傍車両ヒューリスティクスよりも平均で約1%優れた解を生成する。
• 最近傍車両ヒューリスティクスは、顧客の位置が事前に分かっていない動的またはオンラインルーティングのシナリオで特に効果的である。
• 期待mTSP距離の導出された閉形式式は、ヒューリスティクスの結果と一致しており、シミュレーションや正確な計算なしに距離を推定する理論的基盤を提供している。
• この式は、単位区間および2次元グリッド上に一様に分布するn個の点への期待最小距離に基づいており、関係性は式（16）に表現され、mTSPに一般化された形で式（14）に示されている。