[論文レビュー] Closed-Form Projection Method for Regularizing a Function Defined by a Discrete Set of Noisy Data and for Estimating its Derivative and Fractional Derivative

Timothy J. Burns, Bert W. Rust|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2018

Scientific Measurement and Uncertainty Evaluation参考文献 1被引用数 2

ひとこと要約

本稿では、既知の特異値分解（SVD）を用いた積分および分数階積分作用素の性質を活用し、低次の三角関数的またはジャコビ多項式を用いてノイズの多い離散データを正則化する閉形式の射影法を提示する。この手法により、最小限の計算コストでSVDに基づく成分選択によって信号とノイズを分離し、極めてノイズの強いデータからでも関数、その微分、および分数階微分を正確に解析的に推定することが可能になる。

ABSTRACT

We present a closed-form finite-dimensional projection method for regularizing a function defined by a discrete set of measurement data, which have been contaminated by random, zero mean errors, and for estimating the derivative and fractional derivative of this function by linear combinations of a few low degree trigonometric or Jacobi polynomials. Our method takes advantage of the fact that there are known infinite-dimensional singular value decompositions of the operators of integration and fractional integration.

研究の動機と目的

• ノイズの多い離散測定値から滑らかな関数を回復する、不適切に定式化された逆問題に対処すること。
• ゼロ平均のランダム誤差によって汚染されたデータにおける信号と高周波数ノイズを分離する正則化技術を開発すること。
• 低次の直交多項式を用いて、元の関数、その微分、および分数階微分の閉形式で有限次元の近似を提供すること。
• 既知の無限次元SVDを用いて、アベルやボルテラ方程式のような積分作用素への統計的信号分離法を拡張すること。
• 反復的ソルバーやメッシュの細分化を用いずに、計算的に効率的かつ正確に微分および分数階微分を推定すること。

提案手法

• 本手法は、ヒルベルト空間における積分および分数階積分作用素の既知の閉形式の特異値分解（SVD）を用いる。
• ノイズの多いデータを、SVD解析によって選ばれた低次の三角関数的またはジャコビ多項式によって張られる有限次元部分空間に射影する。
• SVD基底における回転されたデータベクトルを分析することで、信号成分を特定し、信号とノイズ成分を区別する診断ルールを適用する。
• 信号成分の選択に際して、閾値τ = 3を適用し、ノイズに強く、信号の忠実性を保つ。
• 正則化された関数およびその微分は、選択された基底関数の閉形式の線形結合として表現される。
• 分数階微分の推定には、既知の分数階積分作用素のSVDの逆作用を適用することで、直接的な解析的推定が可能になる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ノイズの多い離散データから関数を正則化する閉形式で有限次元の射影法が、微分推定の精度を保持しつつ可能か？
• RQ2 積分および分数階積分作用素の特異値分解（SVD）をどのように活用すれば、不適切に定式化された逆問題における信号とノイズの分離が可能か？
• RQ3 反復的または数値最適化に依存せずに、ノイズの多いデータにおける顕著なSVD成分を最適に選択する方法は何か？
• RQ4 わずか数個の低次の直交多項式を用いて、関数、その微分、および分数階微分の閉形式近似をどの程度正確に構築できるか？
• RQ5 前向き問題は安定しているが逆問題が極めて不適切に定式化された場合、高周波数ノイズによって摂動されたデータに対して、この手法はどの程度の性能を示すか？

主な発見

• 250点のノイズの強いデータ点を用いた立方関数の正則化において、SVD診断により信号成分がインデックス1, 2, 3, 87で同定された。
• 例（5.8）–（5.9）におけるアベル方程式では、最初の4つのSVD項が、gおよびfの近似を正確な解とほとんど区別できない精度で得た。
• 3項のレジェンドル多項式近似は、データおよび源関数推定において高い精度を達成し、残差の診断プロットにより効果的なノイズ抑制が確認された。
• 射影行列Pの条件数が90を超えた場合、Pの最初の90列のみを用いることで、安定なQR分解が可能となり、信頼性の高い信号同定が達成された。
• 本手法は、fおよびその微分の閉形式表現を生成し、反復的スキームを回避することで、任意のメッシュ上で高速かつ正確に評価可能であった。
• 微小振幅の高周波数ノイズに対しても、信号とノイズ成分が最小限の誤差増幅で分離され、高いロバスト性を示した。