[論文レビュー] Closed form solution for the surface area, the capacitance and the demagnetizing factors of the ellipsoid

G. V. Kraniotis, G.K. Leontaris|arXiv (Cornell University)|Jun 3, 2013

Experimental and Theoretical Physics Studies参考文献 13被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、AppellおよびLauricellaの一般化超幾何関数を用いて、3次元楕円体の表面積、静電容量、および磁化係数に対する、初めての閉形式解析解を提示する。これらの解は積分変換および超幾何関数の恒等式を用いて導出され、AppellのF1およびLauricellaのFD関数を用いた正確な表現として得られ、球体および回転楕円体の既知の結果が極限状態として回復される。

ABSTRACT

We derive the closed form solutions for the surface area, the capacitance and the demagnetizing factors of the ellipsoid immersed in the Euclidean space R^3. The exact solutions for the above geometrical and physical properties of the ellipsoid are expressed elegantly in terms of the generalized hypergeometric functions of Appell of two variables. Various limiting cases of the theorems of the exact solution for the surface area, the demagnetizing factors and the capacitance of the ellipsoid are derived, which agree with known solutions for the prolate and oblate spheroids and the sphere. Possible applications of the results achieved, in various fields of science, such as in physics, biology and space science are briefly discussed.

研究の動機と目的

• 3次元楕円体の表面積に対する正確な閉形式表現を導出すること。これは、数学的物理における長年の未解決問題である。
• 任意の形状の導体をモデル化する上で関連する、導体の楕円体に対する、初めての解析的解を提供すること。
• 磁化された楕円体の正確な磁化係数を閉形式で計算すること。これは、材料における形状依存の磁化率を補正するために不可欠である。
• 結果をn次元楕円体に一般化し、高次元幾何学的および物理的問題への適用可能性を拡張すること。
• 導出された公式の極限状態として、既知の球体および回転楕円体の解を統一的かつ回復すること。

提案手法

• 楕円体のMongeパッチによるパrametrizationを用い、表面積の積分を超幾何関数を含む形に変換することで、表面積を導出する。
• 積分変換を適用して表面積の積分をハイパーオービック積分に変換し、その後AppellのF1関数（2変数）に還元する。
• 半無限区間における積分を含む逆静電容量の公式を用い、変数変換により超幾何関数の形に変換する。
• n次元における静電容量を表すために、一般化されたLauricella超幾何関数（FD）を用い、半軸比から導かれるパラメータを明示的に定義する。
• 積分表現およびPochhammer記号の恒等式を活用して、導出された超幾何級数の収束性および正則性を検証する。
• 超幾何関数の適切な極限をとることで、球体、回転楕円体（縦型および横型）の極限状態を検証し、既知の結果と整合することを確認する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 特殊関数を用いて、3次元楕円体の表面積に対する閉形式解析解を導出可能か？
• RQ2 3次元における導体の楕円体の静電容量に対する正確な解析的表現は何か？
• RQ3 磁化された楕円体の磁化係数を閉形式で正確に計算するにはどうすればよいか？
• RQ4 導出された解は、適切な極限状態において、既知の球体および回転楕円体の結果に還元されるか？
• RQ5 多変数超幾何関数を用いて、解をn次元楕円体に一般化可能か？

主な発見

• 3次元楕円体の表面積は、2変数のAppell超幾何関数F1を用いた閉形式で表され、半軸比に正確に依存する。
• 導体の楕円体の静電容量は、逆静電容量の変換積分表現から導かれたAppellのF1関数を含む公式で与えられる。
• 磁化係数は、AppellのF1関数を用いた正確な閉形式表現として導出され、磁気統計学における長年の未解決問題が解決された。
• n次元の場合、静電容量は(n−1)変数のLauricella超幾何関数FDを用いて表され、半軸に応じた明示的パラメータ化がなされている。
• n次元表面積の解は、同じFD関数を用いた公式で与えられ、半軸比から導かれるパラメータが明示的に定義されている。
• 4次元楕円体（半軸：2, 1.666..., 1.333..., 1）に対して数値的検証が行われ、静電容量は約4.4066であると得られた。