[論文レビュー] Closed ideals in $\mathcal{L}(X)$ and $\mathcal{L}(X^*)$ when $X$ contains certain copies of $\ell_p$ and $c_0$

Ben Wallis|arXiv (Cornell University)|Jul 12, 2015

Advanced Banach Space Theory参考文献 2被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、バナッハ空間 $X$ が $ p \in (1,2) $ に対して $ \ell_p $ の補完可能コピーと $ \ell_q $ または $ c_0 $ のコピーを含むならば、作用素代数 $ \mathcal{L}(X) $ および $ \mathcal{L}(X^*) $ はそれぞれ連続体濃度の閉じたイデアルを含むことを確立する。さらに、$ q $ に関する追加条件のもとで、これらのイデアルは線形に順序付けられておらず、これらの作用素代数における豊かで非自明なイデアル構造を示している。

ABSTRACT

Suppose $X$ is a real or complexified Banach space containing a complemented copy of $\ell_p$, $p\in(1,2)$, and a copy (not necessarily complemented) of either $\ell_q$, $q\in(p,\infty)$, or $c_0$. Then $\mathcal{L}(X)$ and $\mathcal{L}(X^*)$ each admit continuum many closed ideals. If in addition $q\geq p'$, $\frac{1}{p}+\frac{1}{p'}=1$, then the closed ideals of $\mathcal{L}(X)$ and $\mathcal{L}(X^*)$ each fail to be linearly ordered. We obtain additional results in the special cases of $\mathcal{L}(\ell_1\oplus\ell_q)$ and $\mathcal{L}(\ell_p\oplus c_0)$, $1

研究の動機と目的

• バナッハ空間 $ X $ が特定の古典的シーケンス空間を含む場合の $ \mathcal{L}(X) $ および $ \mathcal{L}(X^*) $ の閉イデアル構造を特定すること。
• 既知の結果である $ \mathcal{L}(\ell_p \oplus \ell_q) $ の閉イデアルラティスを、より広いクラスのバナッハ空間へと拡張すること。
• 特定の条件下で、$ \mathcal{L}(X) $ および $ \mathcal{L}(X^*) $ の閉イデアルラティスが線形に順序付けられていないことを示すこと。
• 有限に厳密に特異および超厳密に余特異作用素が、このようなイデアルを生成する役割を果たすことを分析すること。
• 作用素イデアルと因数分解技術を統合的に用いる枠組みを提供し、連続体濃度の閉イデアルの存在を証明すること。

提案手法

• 閉イデアルを構成するための主要な道具として、有限に厳密に特異（FSS）および超厳密に余特異（SSSC）作用素イデアルの使用。
• 基本列の同値性を確立し、作用素ノルムを制御するための「小さな摂動の原理」の適用。
• 分離可能内射性を活用し、$ \ell_\infty^{k_n} $ および $ \ell_2^n $ の $ c_0 $-和を介した有界線形作用素の構成。
• $ J_n $, $ Q_n $, および $ U $ の定義により、$ \theta I_{2,p,0} $ を通じて因数分解されるグローバル作用素 $ \widetilde{J}RU $ を構築し、所望の図式的因数分解を証明する。
• 特定の作用素の $ \ell_2 $-因数分解可能性を用いて、イデアルの包含関係および非比較可能性を確立する。
• $ \ell_p $, $ \ell_q $, または $ c_0 $ を含む一般化されたバナッハ空間への [SZ14] および [SSTT07] の証明の適応。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 バナッハ空間 $ X $ がどのような条件下で $ \mathcal{L}(X) $ に連続体濃度の閉イデアルをもたらすか。
• RQ2 いつ $ \mathcal{L}(X) $ および $ \mathcal{L}(X^*) $ の閉イデアルは線形に順序付けられていないか。
• RQ3 補完可能な $ \ell_p $ と非補完可能な $ \ell_q $ または $ c_0 $ の部分空間の存在が、$ \mathcal{L}(X) $ のイデアル構造にどのように影響するか。
• RQ4 FSS および SSSC 作用素イデアルが、$ \mathcal{L}(X) $ における新しい閉イデアルを生成する役割を果たすか。
• RQ5 $ \mathcal{L}(\ell_p \oplus c_0) $ および $ \mathcal{L}(\ell_1 \oplus \ell_q) $ に用いられた因数分解技術が、他のバナッハ空間へ一般化可能か。

主な発見

• $ X $ が $ p \in (1,2) $ に対して $ \ell_p $ の補完可能コピーと $ \ell_q $ または $ c_0 $ のコピーを含むならば、$ \mathcal{L}(X) $ および $ \mathcal{L}(X_{\mathbb{C}}) $ は、すべてが FSS イデアルに含まれる連続体濃度の閉イデアルの鎖を含む。
• 双対空間 $ \mathcal{L}(X^*) $ および $ \mathcal{L}(X_{\mathbb{C}}^*) $ は、それぞれ SSSC イデアル内に連続体濃度の鎖を持つ閉イデアルを含む。
• $ 1 < p < 2 < p' \leq q < \infty $ のとき、$ \mathcal{L}(X) $ および $ \mathcal{L}(X^*) $ の閉イデアルは線形に順序付けられておらず、二つの非比較可能なイデアルを含む。
• $ \mathcal{L}(\ell_p \oplus c_0) $ および $ \mathcal{L}(\ell_1 \oplus \ell_q) $（$ 1 < p < 2 < q < \infty $）では、作用素代数は連続体濃度の閉イデアルを含む。
• $ \mathcal{L}(\ell_p, c_0) $ におけるイデアル $ \mathcal{FSS} \cap [\mathcal{G}_{\ell_2}] $ および $ [\mathcal{G}_T] $ は非比較可能であり、$ \mathcal{FSS} $ は $ \mathcal{FSS} + [\mathcal{G}_T] $ の真に部分集合であるため、非自明なイデアル構造が示される。
• $ \widetilde{J}RU $ を通じた $ \theta I_{2,p,0} $ を介した作用素の因数分解は、$ \mathcal{L}(X) $ に新たな閉イデアルの存在を確認し、$ \mathcal{L}(\ell_p \oplus \ell_q) $ の結果をより広い空間のクラスへ拡張する。