[論文レビュー] Closed Mean Curvature Self-Shrinking Surfaces of Generalized Rotational Type

Peter McGrath|arXiv (Cornell University)|Jul 2, 2015

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 11被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、各 $ n \geq 2 $ に対して、$ \mathbb{R}^{2n} $ 内に、$ S^{n-1} \times S^{n-1} \times S^1 $ に微分同相である閉じた埋め込み平均曲率自己収縮体の新しい族を構成する。この族は $ SO(n) \times SO(n) $ に対して不変であり、一般化された回転対称性を用い、歪み付きリーマン計量における測地線方程式を解くことで、軌道空間内のプロファイル曲線の極限的挙動により存在を証明する。

ABSTRACT

For each $n\geq 2$ we construct a new closed embedded mean curvature self-shrinking hypersurface in $\mathbb{R}^{2n}$. These self-shrinkers are diffeomorphic to $S^{n-1} imes S^{n-1} imes S^1$ and are $SO(n) imes SO(n)$ invariant. The method is inspired by constructions of Hsiang and these surfaces generalize self-shrinking "tori" diffeomorphic to $S^{n-1} imes S^1$ constructed by Angenent.

研究の動機と目的

• 球面と Angenent の $ S^{n-1} \times S^1 $ トーラス以外の、閉じて埋め込まれた平均曲率自己収縮体の新しい例を構成すること。
• 回転対称性の手法を、$ O(m) \times O(n) $-不変構造を用いることで、より高い共ホモジニアティに拡張すること。
• 非自明な位相的性質を有する、具体的には $ n \geq 2 $ に対して $ S^{n-1} \times S^{n-1} \times S^1 $ に微分同相である奇数次元の閉じた自己収縮体の存在を証明すること。
• 平均曲率流れの自己収縮体の文脈において、Hsiang の等変微分幾何学的手法を一般化すること。

提案手法

• 自己収縮体を $ \mathbb{R}^{2n} $ 内の $ O(n) \times O(n) $-不変超曲面としてモデル化し、問題を軌道空間 $ Q = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2 : x,y \geq 0\} $ 内のプロファイル曲線に還元する。
• 曲線 $ \gamma_R $ が、$ g = x^{2(n-1)}y^{2(n-1)}e^{-(x^2+y^2)/2}(dx^2 + dy^2) $ という共形に歪んだ計量における測地線であると仮定して、その常微分方程式を導出する。
• 初期角 $ \theta = -\pi/4 $ と半径 $ R $ を持つ一パラメータ族の初期条件 $ \gamma_R $ を用意し、$ R \searrow R_* $ の極限における挙動を分析する。
• コンパクト性と初期条件に関する滑らかな依存性を用いて、極限曲線 $ \gamma_{R_*} $ が両端で対角線 $ \ell $（$ x=y $ となる直線）に直交して交わることを示す。
• 反射により $ \gamma_{R_*} $ の鏡像が滑らかで閉じており、埋め込まれた測地線をなすことから、軌道空間の対応関係により、閉じた自己収縮体に対応することを証明する。
• 角速度 $ \dot{\theta} $ と計量の曲率に関する背理法を用いて、極限において埋め込みでないか、閉じていない挙動が生じないことを除外する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 高次元において、球面と Angenent の $ S^{n-1} \times S^1 $ トーラス以外の新しい閉じて埋め込まれた自己収縮体を構成することは可能か？
• RQ2 $ m,n \geq 2 $ に対して、$ O(m) \times O(n) $-不変な自己収縮体が、$ S^{n-1} \times S^{n-1} \times S^1 $ のような非自明な位相的性質を有するものとして存在するか？
• RQ3 一般化された回転対称性と歪み付き計量内での測地線フローを用いて、奇数次元の閉じた自己収縮体を構成することは可能か？
• RQ4 軌道空間の幾何構造が、このような自己収縮体の存在性および正則性に及ぼす制約は何か？
• RQ5 一パラメータ族の解の極限プロファイル曲線が、閉じて埋め込まれた測地線を生成し、それが滑らかな自己収縮体に対応する可能性は何か？

主な発見

• 各 $ n \geq 2 $ に対して、$ \mathbb{R}^{2n} $ 内に、$ S^{n-1} \times S^{n-1} \times S^1 $ に微分同相である閉じて埋め込まれた平均曲率自己収縮体が存在する。
• この自己収縮体は $ \mathbb{R}^{2n} $ 上の $ SO(n) \times SO(n) $ の作用に対して不変であり、Angenent の $ SO(n) $-不変トーラスを一般化する。
• 自己収縮体のプロファイル曲線 $ \gamma_{R_*} $ は、両端で対角線 $ \ell $（$ x=y $ となる直線）に直交して交わるため、反射後に滑らかさが保証される。
• 極限曲線 $ \gamma_{R_*} $ は歪み付き計量 $ g = x^{2(n-1)}y^{2(n-1)}e^{-(x^2+y^2)/2}(dx^2 + dy^2) $ 内の測地線であり、その反射により閉じて埋め込まれた測地線が得られる。
• 軸付近での $ C^2 $ 収束の問題は、$ \gamma_{R_n} $ が $ x $-軸または $ y $-軸と交差する測地線に収束する場合、正規グラフでないことが示されることで解決される。
• 証明により、軌道空間内に埋め込まれた閉じた測地線は、対角線 $ \ell $ を少なくとも2回以上交わらなければならないことが示され、位相的整合性が確認される。