[論文レビュー] Closed string field theory, strong homotopy Lie algebras and the operad actions of moduli space

Jim Stasheff|ArXiv.org|Apr 15, 1993

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 21被引用数 24

ひとこと要約

本稿は、閉弦場理論、強ホモトピーLie代数（L∞-代数）、およびリーマン面のモジュライ空間の作用の間の深い関係を確立する。弦場の相互作用の代数的構造が、モジュライ空間の位相から自然に生じる高次作用素を含む強ホモトピーLie代数によって支配されることを示し、それらは双対的アソシエイティブ・オペラッドのコバービルト構成によって符号化される。主な貢献は、コhomology上でのバタリン＝ヴィルコヴィチ（BV）代数構造が、この背後にあるL∞-代数の現れであることを特定し、高次ホモトピーは弦図とコンパクト化されたモジュライ空間の幾何から導かれるものである。

ABSTRACT

This is an expanded and updated version of a talk given at the Conference on Topics in Geometry and Physics at the University of Southern California, November 6, 1992. It is a survey talk, aimed at mathematicians AND physicists, which attempts to bring together the topics in the title without assuming much background in any of them. Closed string field theory leads to a (strong homotopy) generalization of Lie algebra, which is strongly related to the way the moduli spaces $\Cal M_{0,N+1}$ fit together as an ``operad''. The latter in turn plays an important role in the understanding of vertex operator algebras.

研究の動機と目的

• 閉弦場理論の代数的構造を、厳密なLie代数ではなく強ホモトピーLie代数（L∞-代数）によって統一すること。
• オペラッドとその双対が弦の相互作用の高次ホモトピー関係をどのように符号化するかを明確にすること。
• バタリン＝ヴィルコヴィチ（BV）代数構造が、コバービルト構成のコオペラッドの双対の厳密な代数からどのように生じるかを示すこと。
• 弦場理論における高次作用素が、穴あきリーマン面のモジュライ空間の位相から生じることを解釈すること。
• 物理的・数学的応用の文脈において、'ホモトピーLie代数'と'強ホモトピーLie代数'を区別することで、用語の曖昧さを解消すること。

提案手法

• アソシエイティブ・オペラッドの双対にコバービルト構成を適用し、弦場理論の背後にある強ホモトピーLie代数構造をモデル化する。
• バーおよびコバービルトの随伴を用いて、コオペラッドとオペラッドを関連づけ、特にヒニチ＝シェフツマンの準同型がLieオペラッドへと導く文脈を扱う。
• パラメータ化された弦配置（例：ペア・オブ・パンツ図）における積分を通じて、弦場の畳み込み積を構成し、これは可換だが非結合的である。
• ホモロジー摂動理論（HPT）の観点から積の代数的関係を分析し、高次括弧がチェーン複体の構造からどのように生じるかを示す。
• 穴あき genus-0 リーマン面のモジュライ空間のコンパクト化が、根付き木によって分類され、そのストラタはこのような木の同型類によってインデックスづけられる。
• BV作用素が強ホモトピーLie代数における導分に対応し、全構造が方程式 $\{V,V\} = 0$ に符号化されることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのようにして、閉弦場理論の代数的構造を、厳密なLie代数ではなく強ホモトピーLie代数（L∞-代数）によって記述できるか？
• RQ2 弦場理論における相互作用頂点の背後にある正確なオペラッド的構造は何か？ そしてそれはリーマン面のモジュライ空間とどのように関係するか？
• RQ3 弦場理論における高次ホモトピー作用素は、配置空間およびコンパクト化されたモジュライ空間の位相からどのように生じるか？
• RQ4 コhomology上でのバタリン＝ヴィルコヴィチ（BV）代数構造は、どのようにして背後にあるL∞-代数構造の結果として生じるのか？
• RQ5 コバービルト構成は、弦場理論におけるアソシエイティブ型とLie型の構造の双対性をどのように実現するか？

主な発見

• 弦場の畳み込み積は、高次ホモトピーを介してgraded Jacobi恒等式を満たし、背後にある強ホモトピーLie代数（L∞-代数）構造を示している。
• 弦場の代数における高次作用素は、アソシエイティブ・オペラッドの双対のコバービルト構成に符号化されており、代数的トポロジーと弦場理論を結ぶ。
• 穴あき genus-0 リーマン面のモジュライ空間のコンパクト化は、根付き木によって分類され、弦の相互作用のオペラッド的構造の組み合わせ的モデルを提供する。
• コhomology上でのバタリン＝ヴィルコヴィチ（BV）代数は、アソシエイティブ・オペラッドの双対のコバービルトの厳密な代数から生じ、BV作用素は $\{V,V\} = 0$ を満たす導分に対応する。
• ホモロジー摂動理論（HPT）は、微分 $d_1 = 0$ の場合でも、スプリットと収縮ホモトピーの選択により、チェーン複体からコホモロジーへの高次作用素の持ち上げを可能にする。
• 用語 '強ホモトピーLie代数' は、'ホモトピーLie代数' とは区別され、前者は第一階のJacobiatorだけでなく、すべての高次ホモトピーを含むことを明確にする。