[論文レビュー] Closed surfaces with different shapes that are indistinguishable by the SRNF

Eric Klassen, Peter W. Michor|arXiv (Cornell University)|Oct 23, 2019

3D Shape Modeling and Analysis参考文献 8被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、R³における形状解析に広く用いられる平方根正規場（SRNF）法が、表面の形状を一意に特定できないことを示している。具体的には、異なる閉じた表面および開いた表面が同一のSRNFを持つことがあることを証明しており、この測度のもとではそれらが区別できない。この非一意性にもかかわらず、SRNFは平行移動を除き、標準球面および厳密に凸な埋め込み表面を一意に特定する。

ABSTRACT

The Square Root Normal Field (SRNF), introduced by Jermyn et al. in [3], provides a way of representing immersed surfaces in $\mathbb R^3$, and equipping the set of these immersions with a "distance function" (to be precise, a pseudometric) that is easy to compute. Importantly, this distance function is invariant under reparametrizations (i.e., under self-diffeomorphisms of the domain surface) and under rigid motions of $\mathbb R^3$. Thus, it induces a distance function on the shape space of immersions, i.e., the space of immersions modulo reparametrizations and rigid motions of $\mathbb R^3$. In this paper, we give examples of the degeneracy of this distance function, i.e., examples of immersed surfaces (some closed and some open) that have the same SRNF, but are not the same up to reparametrization and rigid motions. We also prove that the SRNF does distinguish the shape of a standard sphere from the shape of any other immersed surface, and does distinguish between the shapes of any two embedded strictly convex surfaces.

研究の動機と目的

• 形状空間におけるSRNF写像の単射性を調査すること、特に閉じた表面に対して。
• 特定のクラスの表面に対して、SRNF擬距離が退化（すなわち、非単射）であることを示すこと。
• SRNFが表面形状を一意に特定する条件を同定すること。
• 等長でない表面の具体例を構成し、それらが同一のSRNFを持つこと、特に閉じた表面を含むこと。
• 閉じた表面において、このような退化が平坦な領域を必要とするかという未解決の問いを解消すること。

提案手法

• 面積乗数因子a(x)と単位法線n(x)を用いて、SRNF写像Φ(f) = √a(x)·n(x)を定義する。
• SRNFの差のL²ノルムを用いて、Imm(M, R³)上での擬距離d(f₁,f₂) = ||Φ(f₁) − Φ(f₂)||を定義する。
• 平坦な領域（穴あいドーナツ型領域）における面積保存微分同相写像を用いて反例を構成し、SRNFは保存するが形状は保存しないことを示す。
• Hirschらの定理4（体積形式に関する）を応用し、平坦な領域における面積保存微分同相写像を構成する。
• ガウス写像の性質とガウス＝ボンネの定理を用いて、球面および凸表面に対する一意性を証明する。
• ガウス曲率からの表面再構成に関するミンコフスキーの定理を用い、同じSRNFを持つ凸表面は平行移動で一致することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非合同かつ再パrametrizationされない2つの表面が同一のSRNFを持つことは可能か？
• RQ2 SRNF写像は閉じた表面の形状空間上で単射か？
• RQ3 閉じた表面におけるSRNFの退化には平坦な領域が必要か？
• RQ4 標準球面は、すべての埋め込み表面の中でSRNFによって一意に特定可能か？
• RQ5 SRNFは2つの厳密に凸な埋め込み表面を区別できるか？

主な発見

• SRNF写像は閉じた表面の形状空間上で単射ではない。異なる閉じた表面が同一のSRNFを持つことがある。
• 反例として、線形スケーリング下での円筒と、同じab積を持つ放物面があり、それらは剛体変換や再パrametrizationによって関係付けられない。
• 平坦な領域（穴あいドーナツ型領域）を有する閉じた表面では、境界を固定し、内側のドーナツを交換する面積保存微分同相写像がSRNFを保存する。
• 標準球面はSRNFによって一意に特定される：同じSRNFを持つ任意の埋め込みは、単位球面の平行移動に他ならない。
• 同一のSRNFを持つ2つの厳密に凸な埋め込み表面は、ガウス曲率が等しく、ミンコフスキーの定理より平行移動で一致する。
• 平坦な領域が存在する場合、SRNFは形状を区別できないが、球面および凸表面に対しては依然として単射であり、その限界と強みが浮き彫りになる。