[論文レビュー] Closed Systems of Invertible Maps

Tim Boykett|arXiv (Cornell University)|Dec 21, 2015

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 5被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、トフォリの可逆計算フレームワークを、閉じた可逆写像のシステムを導入することで、多値論理へ一般化する。奇数の位数を持つアルファベットに対しては、4つのトフォリ型ゲートからすべての可逆写像が生成可能であることを示している。本研究は、$A^n \to A^m$ への任意の写像へとクローン理論を拡張し、可逆写像の閉包作用を確立し、奇数のアルファベットでは、2進系よりも少ない生成子で普遍的な可逆計算が可能であることを示している。

ABSTRACT

We generalise clones, which are sets of functions $f:A^n ightarrow A$, to sets of mappings $f:A^n ightarrow A^m$. We formalise this and develop language that we can use to speak about it. We then look at bijective mappings, which have connections to reversible computation, which is important for physical (e.g. quantum computation) as well as engineering (e.g. heat dissipation) reasons. We generalise Toffoli's seminal work on reversible computation to arbitrary arity logics. In particular, we show that some restrictions he found for reversible computation on alphabets of order 2 do not apply for odd order alphabets. For $A$ odd, we can create all invertible mappings from the Toffoli 1- and 2-gates, demonstrating that we can realise all reversible mappings from four generators. We discuss various forms of closure, corresponding to various systems of permitted manipulations. These correspond, amongst other things, to discussions about ancilla bits in quantum computation.

研究の動機と目的

• 2値論理から多値論理へのトフォリの可逆計算モデルの拡張を、代数的構造を用いて行う。
• 一般化クローン理論と閉包作用を用いて、可逆写像 $A^n \to A^m$ の体系を形式化する。
• 有限集合上でのすべての可逆写像が、少数の基本ゲートから生成可能である条件を調査する。
• 特に量子計算や物理的計算の文脈において、アスクルビットと閉包タイプの役割を明確にする。
• 可逆トフォリ代数とマルチクローン格子の基礎を確立し、量子論理設計への応用を想定する。

提案手法

• $(n,m)$-写像の概念を導入し、$A^n \to A^m$ のすべての関数の集合を $M_{n,m}(A)$ と定義する。$B_{n,m}(A)$ はその双対写像の部分集合を表す。
• 写像生成における異なる構成的・構造的制約をモデル化するため、$C(F)$, $T(F)$, $T_S(F)$, $K(F)$, $KC(F)$, $SC(F)$, $RC(F)$ の階層的閉包作用を定義する。
• 写像の生成に、変数の置換 ($\tau$, $\zeta$)、変数の同一化 ($\Delta$)、ダミー変数の挿入 ($\nabla$)、合成 ($*$) などの操作を適用する。
• 写像を高次元系に埋め込むための $\kappa(i,a,f)$ の構成を用い、再帰的閉包を可能とし、$KC_{\Delta} = C_{\Delta}K$ を証明する。
• 理論を応用して、奇数の $|A|$ に対して、トフォリ1-および2-ゲートがすべての可逆写像を生成可能であり、4つの生成子で十分に普遍的であることを示す。
• 写像集合とその閉包クラスの間の不変性とガロア対応を分析し、特に可逆系において考察する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 トフォリの可逆計算フレームワークは、2値系を超えて多値論理へ一般化可能か？
• RQ2 有限集合 $A$ 上でのすべての可逆写像を生成するのに、必要な・十分な閉包作用は何か？
• RQ3 2値アルファベットに適用される可逆計算の制限が、奇数位数のアルファベットでは成り立たないのはなぜか？
• RQ4 アスクルビットと $T_S(F)$ や $RC(F)$ のような閉包タイプは、可逆写像の実現可能性にどのように影響を与えるか？
• RQ5 与えられた集合上でのマルチクローン格子と可逆トフォリ代数の背後にある代数的構造は何か？

主な発見

• 有限集合 $A$ が奇数の位数を持つ場合、$A^n$ 上のすべての可逆写像は、4つのトフォリ型ゲートから生成可能であり、最小の生成子で普遍性を示している。
• $KC_{\Delta}(F)$ という変数の代入と同一化を組み合わせた閉包作用は、$C_{\Delta}K(F)$ と等価であり、重要な代数的双対性を確立している。
• 2進系とは異なり、奇数位数のアルファベットでは、追加の制御機構を必要とせず、トフォリ1-および2-ゲートのみで可逆計算の完全な普遍性が達成可能である。
• $F \subseteq B(A)$ の場合、閉包クラス $RC(F)$, $RT(F)$, $RT_S(F)$ はそれぞれ $C(F)$, $T(F)$, $T_S(F)$ と一致するため、可逆系では閉包格子が単純化される。
• 図1の包含図は、$|A|$ が偶数のとき $C(F) \subset T_S(F)$ であることを示しており、対称的合成の下での閉包は、標準的閉包よりも厳密に強いことを示している。
• $F \subseteq B(A)$ のとき、$SC(F) \cap KC(F) = C(F)$ が成り立つことが示され、可逆写像代数における基本的な交差性の性質が明らかになった。