[論文レビュー] Closedness properties of internal relations IV: Expressing additivity of a category via subtractivity

Zurab Janelidze|ArXiv.org|Oct 3, 2006

Advanced Algebra and Logic参考文献 9被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、有限完備な点付き圏で、二項和と単射および全射による準同型の分解を備えた圏が加法的であるための必要十分条件として、その圏およびその対偶圏が両方とも減法的であることを示している。主な貢献は、加法的性のカテゴリカルな特徴づけを減法的性を用いて行い、ユニ・シュニの減法的多様体の概念を抽象圏へ一般化し、アーベル圏が両方の圏とその双対が減法的条件を満たすときに限り生じることを示している。

ABSTRACT

The notion of a subtractive category, recently introduced by the author, is a ``categorical version'' of the notion of a (pointed) subtractive variety of universal algebras, due to A. Ursini. We show that a subtractive variety $\C$, whose theory contains a unique constant, is abelian (i.e. $\C$ is the variety of modules over a fixed ring), if and only if the dual category $\C^\mathrm{op}$ of $\C$, is subtractive. More generally, we show that $\C$ is additive if and only if both $\C$ and $\C^\mathrm{op}$ are subtractive, where $\C$ is an arbitrary finitely complete pointed category, with binary sums, and such that each morphism $f$ in $\C$ can be presented as a composite $f=me$, where $m$ is a monomorphism and $e$ is an epimorphism.

研究の動機と目的

• 普遍代数における減法的多様体の概念を抽象的な点付き圏へ拡張すること。
• 有限完備な点付き圏で二項和と単射・全射による分解を備えた圏が加法的である条件を特徴づけること。
• 減法的圏の概念を用いて、加法的性に関する双対性に基づく基準を確立すること。
• バール正確圏がアーベル的であるための必要十分条件が、その圏とその双対が両方とも減法的であることであることを示すこと。
• カテゴリ理論的双対性を通じて、カテゴリカルおよび普遍代数的減法的性と加法的性の概念を統合すること。

提案手法

• 減法的圏の定義を用いる：任意の部分対象 r: R → A×A に対して、(a,a) と (a,0) が R に属するならば、(0,a) も R に属する必要がある。
• 圏が有限極限と二項和を備え、かつ任意の準同型が単射と全射の合成として分解できることを仮定する。
• 圏とその双対圏の間の双対性を活用し、C と C^op の減法的性を関連付ける。
• 三項関係 R′ ⊆ A³ を (a,b,c) ∈ R′ なるように定義し、(b,c) ∈ R かつ (a,s(b,c)) ∈ R であるとき、減法的性を用いて R′ が特定の行列条件に関して閉じることを示す。
• 減法演算 s: A×A → A が全関数であり、s(x,x)=0 および s(x,0)=x を満たすことを示し、(A,s,0) が減法代数であることを示す。
• このような圏内の任意の準同型 f: A → A′ が減法構造を保存することを証明し、f が減法代数の準同型であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限完備な点付き圏で二項和と準同型の分解 f=me (m は単射、e は全射) を備えた圏が加法的であるのはいつか？
• RQ2 加法的性の性質を、減法的性と双対性のみを用いてどのように表現できるか？
• RQ3 加法的性の文脈において、圏の減法的性とその双対圏の減法的性の関係は何か？
• RQ4 バール正確圏のアーベル的性は、その圏とその双対が両方とも減法的であることで特徴づけられるか？
• RQ5 どのようなカテゴリカルな条件下で、減法的多様体がアーベル的になるか？

主な発見

• 有限完備な点付き圏で二項和と準同型の分解 f=me (m は単射、e は全射) を備えた圏は、加法的であるための必要十分条件として、その圏とその双対が両方とも減法的であることである。
• 二項和を備えたバール正確圏は、アーベル的であるための必要十分条件として、その圏とその双対が両方とも減法的であることである。
• 減法演算 s: A×A → A は全関数であり、s(x,x)=0 および s(x,0)=x を満たすため、(A,s,0) は減法代数である。
• 準同型 (1_A,1_A; 1_A,0): A+A → A×A は全射であり、減法演算の構成において本質的である。
• このような圏内の任意の対象間の準同型 f: A → A′ は減法構造を保存するため、f は減法代数の準同型である。
• この結果は、ユニ・シュニの減法的多様体の概念を抽象圏へ一般化し、アーベル圏が C と C^op が両方とも減法的であるような圏にちょうど一致することを示している。