[論文レビュー] Closing the loop: nonlinear Taylor vortex flow through the lens of resolvent analysis

Benedikt Barthel, Xiaojue Zhu+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 18, 2021

Fluid Dynamics and Turbulent Flows参考文献 50被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、臨界レイノルズ数の5倍までにまで、完全な非線形性と自己持続性を備えたターレル渦流のモデルを構築する、最適化に基づく新規な解折解析手法を提示する。非線形性を三重積の一貫性制約として扱い、低ランクの線形ダイナミクスを活用することで、直接数値シミュレーション（DNS）の主要な特徴を捉える正確な流れの解を、高い効率で計算可能となる。高レイノルズ数において、三重積相互作用内の破壊的干渉によって、スケールダウンからスケールアップへのエネルギー伝達が生じる遷移が明らかになった。

ABSTRACT

We present an optimization-based method to efficiently calculate accurate nonlinear models of Taylor vortex flow. We use the resolvent formulation of McKeon & Sharma (2010) to model these Taylor vortex solutions by treating the nonlinearity not as an inherent part of the governing equations but rather as a triadic constraint which must be satisfied by the model solution. We exploit the low rank linear dynamics of the system to calculate an efficient basis for our solution, the coefficients of which are then calculated through an optimization problem where the cost function to be minimized is the triadic consistency of the solution with itself as well as with the input mean flow. Our approach constitutes, what is to the best of our knowledge, the first fully nonlinear and self-sustaining, resolvent-based model described in the literature. We compare our results to direct numerical simulation of Taylor Couette flow at up to five times the critical Reynolds number, and show that our model accurately captures the structure of the flow. Additionally, we find that as the Reynolds number increases the flow undergoes a fundamental transition from a classical weakly nonlinear regime, where the forcing cascade is strictly down scale, to a fully nonlinear regime characterized by the emergence of an inverse (up scale) forcing cascade. Triadic contributions from the inverse and traditional cascade destructively interfere implying that the accurate modeling of a certain Fourier mode requires knowledge of its immediate harmonic and sub-harmonic. We show analytically that this finding is a direct consequence of the structure of the quadratic nonlinearity of the governing equations formulated in Fourier space. Finally, we show that using our model solution as an initial condition to a higher Reynolds number DNS significantly reduces the time to convergence.

研究の動機と目的

• 高レイノルズ数における直接数値シミュレーション（DNS）の結果を正確に再現できる、完全な非線形性と自己持続性を持つ低次元モデルを、ターレル渦流に対して開発すること。
• ターレル・カップル・フローにおける大規模なコherent構造を維持する非線形三重積相互作用の役割を調査すること。
• 弱い非線形性から完全な非線形性へのダイナミクスの遷移、特に逆方向（スケールアップ）の力の伝達が顕在化する過程を特定すること。
• モデル解が、改善された初期条件として機能することで、高レイノルズ数DNSの収束を顕著に加速できることを示すこと。

提案手法

• ナビエ＝ストークス方程式をフーリエ空間に定式化し、平均流れのまわりの摂動を線形化することでリゾルベントフレームワークを適用し、問題を多項式方程式の集合に変換する。
• 非線形性はソース項としてではなく、解の2次相互作用が自らの構造と一致する必要がある三重積の一貫性制約として強制する。
• 解空間の効率的基底を構築するために、リゾルベント作用素の低ランク近似を用いることで、計算コストを低減する。
• 三重積の一貫性と入力された平均流れとの整合性を両立させる最適化コスト関数を最小化することで、解基底の係数を決定する。
• モデルの非線形力が自己一貫的かつ平均流れと動的に整合的であることを明示的に保証することで、リゾルベントループを閉じる。
• 得られたモデルは、臨界値の5倍、すなわちRe=2000までのDNS結果と照合され、妥当性が検証された。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 リゾルベント解析を用いて、完全な非線形性と自己持続性を持つターレル渦流のモデルをどのように構築できるか。
• RQ2 三重積非線形相互作用は、ターレル・カップル・フローにおける大規模なコherent構造の維持にどのように寄与するか。
• RQ3 レイノルズ数の増加に伴い、力の伝達の性質（スケールダウン対逆方向）はどのように変化するか。
• RQ4 三重積相互作用間の破壊的干渉が、個々のフーリエモードの構造にどのように影響を与えるか。
• RQ5 リゾルベントに基づくモデルは、高レイノルズ数DNSの収束時間を顕著に短縮できるか。

主な発見

• 本モデルは、計算コストを極めて小さく抑えながらも、Re=2000までの直接数値シミュレーション（DNS）の流れの構造を正確に再現した。
• 高レイノルズ数領域では、スケールダウンの力の伝達が支配的であった弱い非線形性領域から、顕著な逆方向（スケールアップ）の力の伝達を示す完全な非線形性領域への遷移が観察された。
• ある波数kにおける主要な非線形相互作用は、k = (k±1)∓1の形の三重積であり、最高レイノルズ数では高次の三重積（k±2)∓2も重要性を増した。
• 基本調波を含む対になる三重積の速度寄与は、振幅はほぼ等しく、符号が逆であるため、破壊的干渉を引き起こし、全フーリエモードの構造が形成された。
• この破壊的干渉は、フーリエ空間に定式化されたナビエ＝ストークス方程式における2次非線形性の直接的結果であることが解析的に示された。
• 高レイノルズ数DNSにおいて、本モデルの解を初期条件として用いることで、収束時間が65%短縮された。これは、モデルの実用的価値を示している。