[論文レビュー] Closures and generating sets related to combinations of structures

S. V. Sudoplatov|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2016

semigroups and automata theory被引用数 21

ひとこと要約

本稿は、一階構造およびその理論の $E$-結合と $P$-結合の文脈において、閉包作用素と生成集合を調査する。$E$-結合に関して、最小生成集合の存在が最小生成集合の存在と同値であることを確立し、この性質の句法学的および意味論的特徴づけを提供する。主な貢献は、線形順序付けられた言語一様理論に関して、そのような最小生成集合が存在する条件を、基礎となる添字集合の順序論的性質を用いて完全に特徴づけることである。

ABSTRACT

We investigate closure operators and describe their properties for $E$-combinations and $P$-combinations of structures and their theories. We prove, for $E$-combinations, that the existence of a minimal generating set of theories is equivalent to the existence of the least generating set, and characterize syntactically and semantically the property of the existence of the least generating set. For the class of linearly ordered language uniform theories we solve the problem of the existence of least generating set with respect to $E$-combinations and characterize that existence in terms of orders.

研究の動機と目的

• 一階構造の $E$-結合と $P$-結合における閉包作用素と生成集合を分析すること。
• $E$-結合において、理論の最小生成集合が最小生成集合に一致する条件を特定すること。
• $E$-結合に関して、最小生成集合の存在を句法学的および意味論的に特徴づけること。
• 線形順序付けられた言語一様理論のクラスにおいて、最小生成集合の存在問題を解くこと。
• 線形順序付けられた言語一様理論の $E$-結合の $e$-スペクトルを記述すること。

提案手法

• $E$-作用素と $P$-作用素を導入し、構造の結合にトポロジーを定義する。
• $E$-結合を、同値関係 $E$ による宇宙の分割によって得られる構造と定義する。各類は、与えられた構造と初等的に同値である。
• 閉包作用素 $\mathrm{Cl}_E(\mathcal{T}_0)$ を用いて、モデルの $E$-類内で実現可能な理論の集合を生成する。
• 特に稠密および離散の順序型に注目して、理論の添字集合の順序論的分析を適用する。
• 所望の $e$-スペクトルを実現するように、特定の集積点配置を持つモデルを構成する。
• モーリー化と言語の拡張を用いて、理論拡張における生成集合の性質を保存または変更する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $E$-結合の理論の最小生成集合が最小生成集合に一致するのはいつか？
• RQ2 句法学的および意味論的条件として、$E$-結合における最小生成集合の存在を保証するのはどのような条件か？
• RQ3 どの線形順序付けられた言語一様理論に対して、$E$-結合が最小生成集合をもつのか？
• RQ4 理論の添字集合の順序型に応じて、$E$-結合の $e$-スペクトルはどのように依存するか？
• RQ5 $\mathrm{IILU}$-理論の $E$-結合の $e$-スペクトルとして現れることができる基数はどれか？

主な発見

• $E$-結合において、最小生成集合の存在は最小生成集合の存在と同値である。
• 最小生成集合の存在は、理論のモデル理論的構造に基づいた句法学的および意味論的特徴づけによって与えられる。
• 線形順序付けられた言語一様理論に関して、最小生成集合の存在は、理論の添字集合が有限個または可算個の集積点を持つ離散線形順序に順序同型であることと対応する。
• 添字集合に稠密な区間を含む場合、閉包作用素 $\mathrm{Cl}_E(\mathcal{T}_0)$ は最小生成集合をもたない。
• 任意の無限基数 $\lambda$ に対して、$e$-スペクトルが $\max\{2^\omega, \lambda\}$ 以上であるような $\mathrm{IILU}$-理論の $E$-結合が存在し、$e$-最小モデルが存在しない場合に $e$-スペクトルが有界でないことを示す。
• 任意の $\mu \leq \omega$ に対して、$e$-スペクトルがちょうど $\mu$ であるような $\mathrm{IILU}$-理論の $E$-結合が存在し、非可算な $\lambda$ に対しては $e$-スペクトルが $\lambda$ であるような $E$-結合が存在する。