[論文レビュー] Closures in Formal Languages and Kuratowski's Theorem

Janusz Brzozowski, Elyot Grant+1 more|ArXiv.org|Jan 23, 2009

Advanced Algebra and Logic参考文献 3被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、形式的言語におけるクレーネおよび正の閉包作用素の閉包性質を調査し、位相的閉包と補集合の古典的定理であるカウトフスキーの定理を形式的言語理論へと拡張する。補集合と閉包作用素の繰り返し適用によって生成される代数に基づいて言語を分類し、クレーネ閉包の下で正確に12個の異なる代数、正の閉包の下で9個の異なる代数が存在することを証明する。生成される言語の数にはきつい上限があり、最大で14個に達する。

ABSTRACT

A famous theorem of Kuratowski states that in a topological space, at most 14 distinct sets can be produced by repeatedly applying the operations of closure and complement to a given set. We re-examine this theorem in the setting of formal languages, where closure is either Kleene closure or positive closure. We classify languages according to the structure of the algebra they generate under iterations of complement and closure. We show that there are precisely 9 such algebras in the case of positive closure, and 12 in the case of Kleene closure.

研究の動機と目的

• 位相空間からのカウトフスキーの古典的14集合定理を、位相的閉包をクレーネまたは正の閉包に置き換えることによって、形式的言語へと拡張すること。
• 形式的言語の文脈において、言語に対して補集合と閉包作用素を繰り返し適用することによって生成されるすべての可能な代数を分類すること。
• 各閉包タイプにおける異なる代数の正確な数および生成される言語の最大数を特定すること。
• 各代数的タイプに対して明示的な言語例を提示し、上限のタイトさを示すこと。

提案手法

• すべての有限語の集合 Σ∗ 上でのクレーネ閉包（L∗ = ⋃i≥0 Li）および正の閉包（L+ = ⋃i≥1 Li）を、閉包作用素として定義する。
• 閉包作用素と内部作用素の双対性を用いる：L⊛ = L−∗−（クレーヌ内部）、L⊕ = L−+−（正の内部）。
• 閉包作用素と内部作用素を用いて、言語が開集合、閉集合、クローズド・オープン集合、またはそのいずれでもないかに基づいて分類する。
• 言語 L が閉包、補集合、およびそれらの反復作用素の下で生成する代数 E(L) の構造を分析する。
• ホモモーティズム φ を用いて、E(L) 内の言語を B(L) 内の基本集合へ写像することで、複雑さを軽減し、分類を可能にする。
• 空文字 ǫ の有無、および L やその導出集合の開集合性・閉集合性に基づくケース解析を用い、すべての可能な代数を列挙する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 単一の形式的言語に対して、補集合とクレーネ閉包を繰り返し適用することで、最大で何種類の異なる言語が生成可能か？
• RQ2 言語の構造的性質のうち、どの性質が閉包と補集合作用素の下で生成される代数のサイズと構成を決定づけるか？
• RQ3 空文字 ǫ の有無が、生成される言語集合の代数的構造にどのように影響を与えるか？
• RQ4 正の閉包とクレーネ閉包の下で、異なる代数的タイプが存在するか。もし存在するならば、その数はいくつか？
• RQ5 生成される言語の数に対するきつい上限を確立できるか。また、その上限は達成可能か？

主な発見

• クレーネ閉包と補集合の繰り返し適用によって、任意の言語から正確に12個の異なる代数が生成され、最大で14個の異なる言語が生成可能である。
• 正の閉包の下では、正確に9個の異なる代数が存在し、生成される言語の最大数も14個であるが、構造はクレーネの場合とは異なる。
• クレーネ閉包の下での14個という上限はタイトであり、ケース(9)における例である言語 a ∪ ab ∪ bb が正確に14個の異なる言語を生成することによって示されている。
• 代数の構造は、言語が開集合、閉集合、クローズド・オープン集合、またはそのいずれでもないか、および空文字 ǫ の有無に強く依存する。
• 言語 L がクローズド・オープンであり、かつ ǫ を含む場合、生成される代数のサイズは2である。L がクローズド・オープンだが ǫ を含まない場合、サイズも2であるが、これは最初のケースと双対的である。
• L が開でも閉でもない場合、代数のサイズは4から14まで変動し、L+ と L⊕ の閉集合性・開集合性に依存する。最大サイズ14は、L+ と L⊕ がともに閉でも開でもなく、かつその閉包が異なる場合に達成される。