[論文レビュー] CLT for large dimensional general Fisher matrices and its applications in high-dimensional data analysis

Shurong Zheng, Zhidong Bai+1 more|arXiv (Cornell University)|May 8, 2014

Random Matrices and Applications参考文献 26被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、任意の母集団共分散行列をもつ高次元一般Fisher行列の線形スペクトル統計量に関する中心極限定理（CLT）を確立し、高次元推論を可能にする。従来の研究が同一分布独立（i.i.d.）成分や等しい共分散行列を仮定していたのに対し、本稿では固有値関数の明示的な漸近的平均および分散の公式を導出することで、その制限を克服する。

ABSTRACT

Random Fisher matrices arise naturally in multivariate statistical analysis and understanding the properties of its eigenvalues is of primary importance for many hypothesis testing problems like testing the equality between two multivariate population covariance matrices, or testing the independence between sub-groups of a multivariate random vector. This paper is concerned with the properties of a large-dimensional Fisher matrix when the dimension of the population is proportionally large compared to the sample size. Most of existing works on Fisher matrices deal with a particular Fisher matrix where populations have i.i.d components so that the population covariance matrices are all identity. In this paper, we consider general Fisher matrices with arbitrary population covariance matrices. The first main result of the paper establishes the limiting distribution of the eigenvalues of a Fisher matrix while in a second main result, we provide a central limit theorem for a wide class of functionals of its eigenvalues. Some applications of these results are also proposed for testing hypotheses on high-dimensional covariance matrices.

研究の動機と目的

• 次元pが標本サイズn1およびn2に比例して増大する際、一般Fisher行列の固有値に関する漸近的理論の欠如に取り組む。
• 従来のCLTがi.i.d.成分や等しい母集団共分散行列を仮定していたという制限を克服する。
• Fisher行列の線形スペクトル統計量の中心極限定理を、明示的で確率的でない中心化項および分散項をもって確立する。
• 共分散行列の等値性検定や独立性検定を含む高次元多変量検定における有効な推論を可能にする。
• ガウス分布やi.i.d.でない母集団に対しても、任意の四次モーメントをもつ状況にまでランダム行列理論の結果を拡張する。

提案手法

• p、n1、n2が比例的に増大する条件下で、Fisher行列F = B1B2⁻¹の極限スペクトル分布を導出する。
• 複素解析およびStieltjes変換を用いて、Fの極限スペクトル測度を特徴付ける。
• Stieltjes変換から導かれる決定的中心化項を用いて、線形スペクトル統計量W_n = ∑f(λ_i^F)のCLTを確立する。
• 極限スペクトル分布およびStieltjes変換を含む積分を用いて、W_nの漸近的平均および分散を明示的に計算する。
• ガウス分布の仮定に依存しないように、母集団成分の任意の四次モーメントを扱う。
• 母集団共分散行列Σ1およびΣ2に対して一般な条件下でCLTを証明し、Σ1 = Σ2を仮定しない。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 母集団共分散行列が任意である場合、次元が大きいFisher行列の固有値の極限分布は何か？
• RQ2 このようなFisher行列の線形スペクトル統計量に対して、明示的で確率的でない中心化項および分散項をもつ中心極限定理を確立できるか？
• RQ3 固有値関数の漸近的平均および分散は、母集団共分散行列および標本サイズにどのように依存するか？
• RQ4 i.i.d.成分や等しい共分散行列を仮定せずにCLTを導出できるか？
• RQ5 このCLTは、多変量解析における高次元仮説検定にどのような意味を持つか？

主な発見

• 本稿は、任意の母集団共分散行列をもつ高次元Fisher行列の線形スペクトル統計量に関するCLTを確立し、i.i.d.成分がなくても成り立つ一般な条件下で有効である。
• 線形スペクトル統計量の漸近的平均および分散は、Stieltjes変換および極限スペクトル分布を用いて明示的に導出された。
• CLTにおける中心化項は決定的で確率的でないため、実用的な推論が可能であり、従来の結果とは異なり中心化項が確率的であった点を克服している。
• 漸近的分散の公式は、母集団スペクトル分布およびStieltjes変換を含む積分で表され、次元比に明示的な依存関係を示す。
• 母集団成分の四次モーメントが任意であってもCLTが成り立つため、以前の研究で大きな制限となっていた点を解消した。
• 本結果は、一般な設定下で高次元共分散行列の等値性や独立性の仮説検定を理論的に支える基盤を提供する。