[論文レビュー] Cluster expansions and correlation functions

Daniel Ueltschi|ArXiv.org|Apr 1, 2003

Random Matrices and Applications参考文献 7被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、連続的および離散的系に適用可能な統一的なクラスターエキスパンション枠組みを提示する。Kotecký-Preissの収束基準を拡張し、相関関数の明示的表現と推定を提供する。古典的・量子ガスおよび格子高分子モデルにおいて検証され、活性度と相互作用強度の条件の下で熱力学的圧力の解析的性質が確立される。

ABSTRACT

A cluster expansion is proposed, that applies to both continuous and discrete systems. The assumption for its convergence involves an extension of the neat Kotecky-Preiss criterion. Expressions and estimates for correlation functions are also presented. The results are applied to systems of interacting classical and quantum particles, and to a lattice polymer model.

研究の動機と目的

• 統計力学における連続的および離散的系の両方に適用可能な一般化されたクラスターエキスパンション法の開発。
• Kotecký-Preissの収束基準を、古典的および量子粒子モデルを含む連続的系に拡張すること。
• クラスターエキスパンション枠組みを用いて、相関関数の明示的表現と厳密な上限を導出すること。
• 本手法が古典的および量子ガス、および格子高分子モデルへの適用可能性を示すこと。
• 活性度と相互作用ポテンシャルを含む条件の下で、熱力学的圧力の解析的性質を確立すること。

提案手法

• クラスターエキスパンションは、複素測度空間 $({\rm d}\nu, { m d}\nu)$ と、対相互作用を符号化する対称関数 $\zeta(A, A')$ を用いて定式化される。
• 収束のための鍵となる基準として、$ \int |\mu|({\rm d}A') |\zeta(A, A')| e^{a(A')} \leq a(A) $ が導入され、ここで $ a(A) $ は非負関数であり、$ \int e^{a(A)} |\mu|({\rm d}A) < \infty $ である。
• 分配関数は $ Z = \exp\left\{ \sum_{n \geq 1} \int \varphi(A_1, \dots, A_n) \prod_{i=1}^n {\rm d}\mu(A_i) \right\} $ と表現され、ここで $ \varphi $ は連結グラフ上の組み合わせ関数である。
• 相関関数はクラスターエキスパンションを介して導出され、同一の収束基準を用いて上限が確立される。
• 量子系への適用は、経路を高分子に写像することで行われ、Feynman-Kac表現と $ \omega \in \Omega_{xx}^{\ell\beta} $ を用いた経路積分が用いられる。
• 量子ガスの場合、相互作用は $ \zeta({\boldsymbol{\omega}}, {\boldsymbol{\omega}}') = \exp\left\{ -\sum_{m,n} \int_0^\beta U(\omega(m\beta + t) - \omega'(n\beta + t)) {\rm d}t \right\} - 1 $ に符号化される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 統計力学における連続的および離散的系の取り扱いを統合する、同一のクラスターエキスパンション枠組みを構築可能か？
• RQ2 Kotecký-Preissの収束基準は、量子ガスや古典的粒子系を含む連続的系にまで拡張可能か？
• RQ3 クラスターエキスパンションを用いて、相関関数の明示的表現と上限をどのように導出できるか？
• RQ4 活性度 $ z $ および逆温度 $ \beta $ に関して、熱力学的圧力が解析的となる条件は何か？
• RQ5 本手法は、非自明な相互作用を有する格子高分子モデルおよび量子多体系に適用可能か？

主な発見

• 拡張された Kotecký-Preiss 条件のもとでクラスターエキスパンションは絶対収束する：$ \int |\mu|({\rm d}A') |\zeta(A, A')| e^{a(A')} \leq a(A) $、かつ $ \int e^{a(A)} |\mu|({\rm d}A) < \infty $。
• 分配関数は $ Z = \exp\left\{ \sum_{n \geq 1} \int \varphi(A_1, \dots, A_n) \prod_{i=1}^n {\rm d}\mu(A_i) \right\} $ と表現され、$ \varphi $ は連結グラフによって定義される。
• 量子ガスの場合、条件 $ \frac{\beta}{(2\pi\beta)^{d/2}} \int U(x) {\rm d}x \sum_{\ell \geq 1} \ell^{-d/2} \leq -\log z $ が満たされれば基準を満たし、圧力の解析的性質が保証される。
• 本手法により、相関関数の上限が得られ、たとえば $ 1 + \sum_{n \geq 2} n \int |\mu|({\rm d}A_2) \cdots |\varphi(A_1, \dots, A_n)| \leq e^{a(A_1)} $ のような不等式が得られる。
• この枠組みは、古典的および量子ガス、格子高分子モデルに適用可能であり、相互作用項および測度の明示的表現が導出される。
• 収束基準が成立する範囲では凝縮が発生せず、熱力学的関数の解析的性質が保証される。