[論文レビュー] Cluster update for tensor network states

Ling Wang, Frank Verstraete|arXiv (Cornell University)|Oct 19, 2011

Physics of Superconductivity and Magnetism被引用数 21

ひとこと要約

本稿では、無限大の投影エンタングルペア状態（iPEPS）シミュレーションの精度を向上させるためのクラスタ更新手法を提案する。この手法は有限サイズのクラスタ上で虚時間に沿ったテンソルの更新を実行することで、長距離もつれや臨界現象をよりよく捉えることを可能にする。bond次元 $D=5$ の場合、スピン1/2のジメル化反強磁性ヘイゼンベルグ模型に対して高い精度を達成し、臨界点 $J'_c=2.501(1)$ と臨界指数 $\beta=0.37(1)$ を得た。これは単純更新法を上回る性能を示している。

ABSTRACT

We propose a novel recursive way of updating the tensors in projected entangled pair states by evolving the tensor in imaginary time evolution on clusters of different sizes. This generalizes the so- called simple update method of Jiang et al. [Phys. Rev. Lett. 101, 090603 (2008)] and the updating schemes in the single layer picture of Pižorn et al. [Phys. Rev. A 83, 052321 (2011)]. A finite-size scaling of the observables as a function of the cluster size provides a remarkable improvement in the accuracy as compared to the simple update scheme. We benchmark our results on the hand of the spin 1/2 staggered dimerized antiferromagnetic model on the square lattice, and accurate results for the magnetization and the critical exponents are determined.

研究の動機と目的

• 2次元量子系における長距離もつれや臨界相関を単純更新法が捉えきれないという限界を克服すること。
• 単純更新法の計算的利点を保ちつつ、量子臨界点付近での精度を向上させるスケーラブルで効率的なテンソルネットワークアルゴリズムの開発。
• 中程度のbond次元を用いても、強く相関する系における臨界指数や相転移点の正確な決定を可能にすること。
• 単純更新法の効率性と、クラスタベースの方法による環境表現の改善を統合し、計算コストの増加を抑えること。

提案手法

• 単一サイトではなく $l_x \times l_y$ のクラスタ上でテンソルを更新することで、単純更新法を一般化し、より大きなクラスタによる長距離相関を組み込む。
• 前回の反復で得られたエンタングルメントスペクトル $\Lambda$ を用いて、無限大iPEPSをクラスタ上の開放境界PEPSに変換し、環境を表現する。
• 虚時間発展をクラスタの中心サイトに適用し、全ヒルベルト空間の成長を避ける修正されたMPSベースの方法を用いて、波動関数を効率的に縮約する。
• 更新されたテンソルは、元のiPEPSのテンソルを置き換えるために、射影演算子 $\mathbf{P}_A, \mathbf{P}_B$ を用いて、bond次元 $D$ に射影することで得られる。
• 有限サイズスケーリングを用い、クラスタサイズ $l_x$ を変分パrameterとして用い、熱力学的極限への外挿を可能にする。
• エネルギーなど期待値は、テンソル更新後に大きな周期的系上でモンテカルロサンプリングを用いて計算する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 第二種量子相転移付近のiPEPSシミュレーションにおいて、クラスタベースの更新スキームは単純更新法に比べて精度を向上させることができるか？
• RQ2 与えられたbond次元 $D$ に対して、クラスタサイズ $l_x$ を大きくすることで、エネルギーと磁化の誤差はどの程度低減されるか？
• RQ3 クラスタサイズ $l_x$ を用いた有限サイズスケーリングによって、臨界指数や臨界点に対する熱力学的極限への信頼性のある外挿が可能か？
• RQ4 完全収縮アルゴリズムや他のiPEPS変種と比較して、クラスタ更新法は精度と効率の両面で優れているか？

主な発見

• クラスタ更新法は、$D=5$ 時にエネルギーと磁化の精度が著しく向上し、エネルギー誤差は桁単位で低減された。
• ジメル化反強磁性ヘイゼンベルグ模型に対して、臨界点 $J'_c = 2.501(1)$ を得た。これは最新のSSE結果（$J'_c = 2.5198(3)$）と非常に近い。
• 臨界指数 $\beta = 0.37(1)$ を高い精度で抽出し、SSE結果（$\beta = 0.376(5)$）と誤差範囲内で一致した。
• クラスタサイズ $l_x$ を用いた有限サイズスケーリングにより、サブラティス磁化の信頼性ある外挿が可能であり、SSEシミュレーションと非常に良好に一致した。
• 2×2クラスタでは $D^5$、4×4クラスタでは $D^7$ のスケーリングを示し、中程度の $D$ に対しても効率的であり、全環境収縮の複雑さを回避した。
• $D=5$ でモデルの臨界的挙動をうまく捉えた。これは中間的なbond次元にクラスタベースの更新を組み合わせることで、高精度な結果が得られることを示している。