[論文レビュー] Clustering function: a measure of social influence

Mindaugas Bloznelis, Valentas Kurauskas|arXiv (Cornell University)|Jul 20, 2012

Complex Network Analysis Techniques参考文献 28被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、2つの頂点が共通のr個の頂点を持つ条件下での隣接確率として定義される、社会的影響の新たな指標であるクラスタリング関数を導入する。実世界のネットワーク（俳優ネットワークおよびFacebook類似ネットワーク）とランダムインターセクショングラフモデルを分析し、クラスタリング関数が驚くべき一貫性を示し、べき乗則度分布と非消滅するクラスタリングを示すランダムインターセクショングラフにおけるクラスタリング関数の一次漸近的表現を導出することを明らかにする。

ABSTRACT

A commonly used characteristic of statistical dependence of adjacency relations in real networks, the clustering coefficient, evaluates chances that two neighbours of a given vertex are adjacent. An extension is obtained by considering conditional probabilities that two randomly chosen vertices are adjacent given that they have r common neighbours. We denote such probabilities cl(r) and call r-> cl(r) the clustering function. We compare clustering functions of several networks having non-negligible clustering coefficient. They show similar patterns and surprising regularity. We establish a first order asymptotic (as the number of vertices tends to infinity) of the clustering function of related random intersection graph models admitting nonvanishing clustering coefficient and asymptotic degree distribution having a finite second moment.

研究の動機と目的

• ネットワークにおける社会的影響の指標としてクラスタリング関数を導入・形式化すること。定義は、2頂点がr個の共通の隣接頂点を持つ条件下での隣接確率である。
• 実世界のネットワーク（俳優ネットワークおよび大学のFacebook類似ネットワーク）における経験的クラスタリング関数を分析し、一貫性があり規則的なパターンを明らかにする。
• ランダムインターセクショングラフモデルにおけるクラスタリング関数の厳密な漸近的解析を確立すること。このモデルは、べき乗則度分布と調整可能なクラスタリングを生成することが知られている。
• 最小のモーメント条件の下で、非消滅するクラスタリングと有限の2次モーメント度分布を持つランダムインターセクショングラフにおけるクラスタリング関数の一次漸近的表現を導出すること。構造的ネットワーク特性と確率的モデルパラメータの関係を明確にする。

提案手法

• クラスタリング関数を $ cl_{{\cal G}}(r) = \mathbb{P}(v_1^* \sim v_2^* \mid d(v_1^*, v_2^*) = r) $ として定義する。ここで $ v_1^*, v_2^* $ は一様にランダムに選ばれた異なる2頂点である。
• 累積クラスタリング関数 $ Cl_{{\cal G}}(r) = \mathbb{P}(v_1^* \sim v_2^* \mid d(v_1^*, v_2^*) \geq r) $ を定義し、少なくともr個の共通の隣接頂点を持つ場合の影響を捉える。
• 3つの俳優ネットワーク（英語、フランス語、ロシア語）と3つの大学のソーシャルネットワークのデータを用いて経験的クラスタリング関数を分析し、一貫した関数的パターンを観察する。
• ネットワークをランダムインターセクショングラフでモデル化する：各頂点にランダムな属性集合を割り当て、属性集合の共通部分が空でない場合に辺が形成される。
• 包含除算法とモーメントバウンドを用いて、$ n \to \infty $ の極限における $ \mathbb{P}(v_1^* \sim v_2^* \mid d(v_1^*, v_2^*) = r) $ の漸近的確率解析を実施し、最小のモーメント条件の下で推定する。
• インジケータ関数と切り捨て（例：$ \mathcal{A}^* = \{A_3 < n^{1/4}\} $）を用いて尾確率を制御し、$ \mathbb{P}({\cal D}) $（ちょうどr個の共通の隣接頂点を持ち、互いにすべて隣接する三頂点の確率）のタイトなバウンドを導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 実世界のネットワークにおいて、2頂点間のリンク確率は、それらの共通の隣接頂点数にどのように依存するか？
• RQ2 俳優ネットワークやFacebook類似の大学ネットワークといった実ネットワークは、クラスタリング関数において一貫性があり予測可能なパターンを示すか？
• RQ3 ランダムインターセクショングラフモデルにおいて、頂点数 $ n \to \infty $ のときのクラスタリング関数の漸近的挙動はいかなるものか？
• RQ4 非消滅するクラスタリングと有限の2次モーメント度分布を持つランダムインターセクショングラフにおいて、クラスタリング関数の一次漸近的表現を導出できるか？
• RQ5 ランダムインターセクショングラフモデルのパラメータ（例：属性確率、度のモーメント）は、クラスタリング関数にどのように影響を与えるか？

主な発見

• 俳優ネットワークおよび大学ネットワークにおける経験的クラスタリング関数は、ネットワークサイズやクラスタリング係数の違いに関わらず、一貫性があり規則的なパターンを示す。
• クラスタリング関数 $ cl(r) $ は $ r $ の増加に従って減少する。これは、共通の隣接頂点数が多いほど隣接の条件付き確率が低下することを示し、社会的影響が閾値を超えては薄れる傾向があることを示唆する。
• ランダムインターセクショングラフにおいて、漸近的クラスタリング関数 $ cl(r) $ は、モデルパラメータ $ a_1, a_2, b_2, b_3 $ を含む一次式に収束することが示された。$ \mathbb{P}({\cal D}) = \varkappa_1 + \varkappa_2 + o(n^{-2}) $ であり、$ \varkappa_1, \varkappa_2 $ はモーメントから導出される。
• 漸近的解析により、ランダムインターセクショングラフがべき乗則度分布と非消滅するクラスタリングを有するネットワークを生成できることを確認した。これは実世界の観察結果と整合的である。
• 導出された漸近的表現は最小のモーメント条件の下で有効であり、広範なクラスのランダムインターセクショングラフモデルへのロバストネスと適用可能性を保証する。
• r個の共通の隣接頂点を持つ三頂点の集合が互いにすべて隣接する確率は、漸近的に $ \varkappa_1 + \varkappa_2 + o(n^{-2}) $ に収束する。ここで $ \varkappa_1 \sim a_1^3 b_3 (nm)^{-3/2} $ であり、モデルパラメータとクラスタリング挙動との間の明確な定量的関係を提供する。