[論文レビュー] Clustering, percolation and directionally convex ordering of point processes

Bartłomiej Błaszczyszyn, D. Yogeshwaran|arXiv (Cornell University)|May 21, 2011

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 26被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、点過程におけるクラスタリングと連続的確率的臨界半径 $ r_c $ の関係を、方向凸（dcx）順序を用いてクラスタリング傾向を比較することで調査する。dcx順序に従って $ r_c $ が増加するという予想は、反例によって否定されるが、著者らは非標準的な臨界半径 $ \underline{r}_c $ および $ \overline{r}_c $ に対して単調性を証明し、dcxより小さい過程に対して $ r_c $ の一様な境界を確立する。これには、行列式および恒等的点過程が含まれる。

ABSTRACT

Heuristics indicate that point processes exhibiting clustering of points have larger critical radius $r_c$ for the percolation of their continuum percolation models than spatially homogeneous point processes. It has already been shown, and we reaffirm it in this paper, that the $dcx$ ordering of point processes is suitable to compare their clustering tendencies. Hence, it was tempting to conjecture that $r_c$ is increasing in $dcx$ order. Some numerical evidences support this conjecture for a special class of point processes, called perturbed lattices, which are "toy models" for determinantal and permanental point processes. However, the conjecture is not true in full generality, since one can construct a Cox point process with degenerate critical radius $r_c=0$, that is $dcx$ larger than a given homogeneous Poisson point process. Nevertheless, we are able to compare some nonstandard critical radii related, respectively, to the finiteness of the expected number of void circuits around the origin and asymptotic of the expected number of long occupied paths from the origin in suitable discrete approximations of the continuum model. These new critical radii sandwich the "true" one. Surprisingly, the inequalities for them go in opposite directions, which gives uniform lower and upper bounds on $r_c$ for all processes $dcx$ smaller than some given process. In fact, the above results hold under weaker assumptions on the ordering of void probabilities or factorial moment measures only. Examples of point processes comparable to Poisson processes in this weaker sense include determinantal and permanental processes. More generally, we show that point processes $dcx$ smaller than homogeneous Poisson processes exhibit phase transitions in certain percolation models based on the level-sets of additive shot-noise fields, as e.g. $k$-percolation and SINR-percolation.

研究の動機と目的

• 連続的確率的臨界半径 $ r_c $ が点過程の方向凸（dcx）順序に従って増加するかどうかを調査すること。
• クラスタリングが $ r_c $ を増加させるという直感的予想を、正式なdcx順序に基づいて検証すること。
• 均一な下界および上界を、均一なポアソン過程よりdcxで小さい点過程の $ r_c $ に対して確立すること。
• 加法的ショットノイズ場に基づく確率的モデル、特に $ k $-確率的およびSINR-確率的への結果の拡張。
• 非標準的な臨界半径 $ \underline{r}_c $ および $ \overline{r}_c $ におけるdcxに基づく単調性の妥当性を分析し、相転移への影響を検討すること。

提案手法

• 方向凸（dcx）順序を用いて、空洞確率および階乗モーメント測度の比較に基づき、点過程におけるクラスタリングを比較する。
• 反例を構築：dcxで大きいが $ r_c = 0 $ であるため、均一なポアソン過程より大きいコックス過程（ポアソン・ポアソンクラスタ）を用い、直感的予想を反証する。
• 非標準的な二つの臨界半径 $ \underline{r}_c < r_c $ および $ \overline{r}_c > r_c $ を導入し、dcx順序において単調性が成り立つことを示す。
• ペイエルスの議論を応用し、$ \overline{r}_c $ を用いて $ r_c $ の下界を導出し、$ \underline{r}_c $ を用いて逆単調性を得る。
• dcxで小さい点過程が、凸拡張技術を用いて、$ r_c $ に対して一様に非退化する境界を有することを証明する。
• 結果をショットノイズ場のレベル集合に基づく確率的モデル（例：$ k $-確率的、SINR-確率的）に適用し、dcx順序下での相転移を示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 直感的クラスタリング議論が示唆するように、連続的確率的臨界半径 $ r_c $ は点過程のdcx順序に従って増加するか？
• RQ2 一般に、$ \Phi_1 \leq_{dcx} \Phi_2 \Rightarrow r_c(\Phi_1) \leq r_c(\Phi_2) $ という予想は証明可能か？
• RQ3 非標準的な臨界半径 $ \underline{r}_c $ および $ \overline{r}_c $ は $ r_c $ の境界をどのように果たし、ペイエルスの議論とどのように関係するか？
• RQ4 均一なポアソン過程よりdcxで小さい点過程は、一様に有界な $ r_c $ を示すか？その相転移への影響は何か？
• RQ5 加法的ショットノイズ場に基づく確率的モデル（例：$ k $-確率的、SINR-確率的）は、dcx順序下で相転移を示すか？

主な発見

• dcx順序に従って $ r_c $ が増加するという単純な予想は、反例により誤りであることが示された：dcxで大きいが $ r_c = 0 $ であるコックス過程（ポアソン・ポアソンクラスタ）がその反例である。
• ペイエルスの議論に関連する非標準的臨界半径 $ \overline{r}_c $ はdcx順序において単調増加であり、すべてのdcxで小さい過程の $ r_c $ の上界を提供する。
• $ \underline{r}_c < r_c $ については逆単調性が成り立ち、dcx順序において減少するため、$ r_c $ の下界が得られる。
• 均一なポアソン過程よりdcxで小さいすべての点過程は、$ r_c $ に対して一様に非退化する下界および上界を有し、相転移のロバスト性を保証する。
• 結果は、加法的ショットノイズ場のレベル集合に基づく確率的モデル（例：$ k $-確率的、SINR-確率的）に拡張され、dcx順序下で相転移を示す。
• トレースクラスの核を持つ行列式および恒等的点過程は、ポアソン過程よりdcxで小さく、したがって $ r_c $ に一様な境界を有する。