[論文レビュー] CM periods, CM regulators and hypergeometric functions, I

Masanori Asakura, Noriyuki Otsubo|arXiv (Cornell University)|Mar 27, 2015

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 19被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、射影直線 $\mathbb{P}^1$ 上の特定のファイブレーションから得られるモチーフの複素乗法性（CM）周期に関するグロス–デリーニュ予想を証明し、$K_1$-レギュレーターを超幾何関数 ${}_3F_2$ を用いて表現するレギュレーター公式を確立する。周期とレギュレーターが、超幾何関数の特別値を用いて明示的に計算可能であり、やや弱い条件下でもレギュレーターが消えないことを示している。

ABSTRACT

We study the $H^2$ of certain surfaces with complex multiplication by a cyclotomic field. The periods are written in terms of values of the gamma function and the conjecture of Gross-Deligne is verified. The regulators of certain $K_1$-elements are written in terms of values of hypergeometric functions ${}_3F_2$, and we prove their non-vanishing.

研究の動機と目的

• 射影直線 $\mathbb{P}^1$ 上のファイブレーションで、モノドロミーと CM 構造を有する特定の性質を満たす表面の $H^2$ に由来するモチーフについて、CM 周期に関するグロス–デリーニュ予想を証明すること。
• これらのモチーフの $K_1$-レギュレーターを、$\frac{1}{N}\mathbb{Z}$ に値をとるパラメータを持つ超幾何関数 ${}_3F_2$ で表現すること。
• やや弱い仮定のもとでレギュレーターが非自明であることを確立し、その算術的意義を確認すること。
• ガウス–マニン接続の正規化拡張と積分表現を用いて、周期とレギュレーターの明示的計算を提供すること。
• レギュレーターが重みに応じて ${}_{k+1}F_k$-値として表現可能であるというより広範な予想の基盤を築くこと。

提案手法

• ファイブレーションの相対的1次ド・ラームコホロジー上のガウス–マニン接続の正規化拡張 $\mathscr{H}_e$ を明示的に計算すること。
• オイラー型の積分表現を用いて、表面の2周期を ${}_3F_2$-値で表現し、それが ${}_2F_1$-値に帰着されることを示すこと。
• 体 $K = \mathbb{Q}(\mu_{pl})$ の作用下での固有成分 $H^\chi$ の解析を通じて、モチーフ $H = (H_{\mathrm{dR}}, H_B)$ のホッジ構造を特定し、$\dim_K H_B = 1$ を証明すること。
• ベイリンソンのレギュレーター写像 $r_\mathscr{D}: H^3_\mathscr{M}(X,\mathbb{Q}(2)) \to H^3_\mathscr{D}(X_\mathbb{C}, \mathbb{Q}(2))$ を適用し、$F^1 H_{\mathrm{dR}}^2$ に制限することで、レギュレーターと超幾何関数との関係を確立すること。
• 第一著者の先行研究における技法を応用し、チェチ型複体を用いてレギュレーターを計算し、$\mu_l$ 上のファイバーに台を持つデリーニュコホロジー類の、ホッジフィルトレーションと整合性を保つように処理すること。
• 超幾何恒等式を用いて周期とレギュレーターの計算を比較し、予想される公式の正当性を検証すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 複素乗法性 $\mathbb{Q}(\mu_{pl})$ を持つ、射影直線 $\mathbb{P}^1$ 上のファイブレーションから得られるモチーフに対して、グロス–デリーニュ予想におけるCM周期が検証可能か。
• RQ2 このようなモチーブの $K_1$-レギュレーターは、$\frac{1}{N}\mathbb{Z}$ に値をとるパラメータを持つ超幾何関数 ${}_3F_2$ で表現可能か。
• RQ3 やや弱い条件下で、レギュレーター写像が消えないか。これにより算術的意義が保証されるか。
• RQ4 これらのモチーブのホッジ構造と周期積分は、超幾何関数の特別値とどのように関係するか。
• RQ5 ガウス–マニン接続およびその正規化拡張の構造を用いて、周期とレギュレーターを明示的に計算可能か。

主な発見

• 各固有成分 $H^\chi$ の周期が、$B(\beta,\mu) B(1-\beta, \beta - \alpha + \mu)$ の積に比例することを示し、$\alpha = \{\frac{na}{p}\}$, $\beta = \{\frac{nb}{p}\}$, $\mu = \{\frac{m}{l}\}$ であり、比例定数は $K'^\times$ 上で、$K' = \mathbb{Q}(\mu_{2lp})$ である。これによりグロス–デリーニュ予想が証明された。
• モチーブコホロジー類 $z \in H^3_{\mathscr{M},Z_1}(X,\mathbb{Q}(2))$ がド・ラームコホロジー類 $\omega \in H_{\mathrm{dR}}^{\chi}$ に対して評価されるレギュレーターは、$B(1-\alpha,\beta) \cdot {}_3F_2\left({1-\alpha,\beta,\beta-\alpha+\mu \atop 1-\alpha+\beta,\beta-\alpha+\mu+1};1\right)$ に比例し、比例定数は $K^\times$ 上にある。
• 体 $K$ 上でのベッチコホロロジー $H_B$ の次元が1であることが証明され、固有空間 $H^\chi$ の1次元性が確認された。
• やや弱い仮定のもとで、レギュレーターが非ゼロであることが示され、レギュレーター写像の非自明性が確認され、$L$-関数の予想におけるその役割が裏付けられた。
• 表面の2周期は、積分表現を介してまず ${}_3F_2$-値として表現され、その後 ${}_2F_1$-値に帰着されることを示し、古典的超幾何関数論と結びついた。
• 正規化拡張とチェチ分解の手法により、デリーニュコホロジー類およびそのホッジフィルトレーションの明示的計算が可能となり、レギュレーター公式の検証が可能になった。