[論文レビュー] CM Stability and the Generalized Futaki Invariant I

Sean Timothy Paul, Gang Tian|ArXiv.org|May 10, 2006

Geometry and complex manifolds参考文献 30被引用数 66

ひとこと要約

この論文は、グロテンディーク・リーマン・ロッホの定理とカーレイの結果式論を用いてヒルベルト多様体上のCM極分類を精緻化することで、代数幾何学とK安定性の間に深い接点を確立する。一パrameter群作用における精緻化されたCM極分類の重みが一般化されたフタキ不変量に等しいことを証明し、CM安定性がK安定性を示すことを示している。

ABSTRACT

Based on the Cayley, Grothendieck, Knudsen Mumford theory of determinants we extend the CM polarization to the Hilbert scheme. We identify the weight of this refined line bundle with the generalized Futaki invariant of Donaldson. We are able to conclude that CM stability implies K-Stability. An application of the Grothendieck Riemann Roch Theorem shows that this refined sheaf is isomorphic to the CM polarization introduced by Tian in 1994 on any closed, simply connected base .

研究の動機と目的

• グロテンディーク、カーレイ、クヌーデンセン＝マウンドの理論から得られる行列式ラインバンドを用いて、ヒルベルト多様体上でのCM極分類を拡張すること。
• 行列式バンド $\mathbb{L}_1$ を用いて、ヒルベルト多様体上に一般化されたフタキ不変量を捉える精緻化されたCM極分類を定義すること。
• この精緻化されたラインバンドが一パrameter群作用の下で与えられる重みが、対応する退化の一般化されたフタキ不変量に等しいことを証明すること。
• CM安定性の下で一般化されたフタキ不変量が消えることにより、CM安定性がK安定性を示すことを確立すること。
• 底空間が単連結または滑らかであるとき、精緻化されたCM極分類がティアンによって導入された元のCM極分類と同型であることを示すこと。

提案手法

• ヒルベルト多様体上に、チャウ形式、直接像の行列式、およびヒルベルト多項式からの係数 $\mu$ を用いて、精緻化されたCM極分類 $\mathbb{L}_1$ を構成する。
• グロテンディーク・リーマン・ロッホの定理を適用し、$\mathbb{L}_1$ の1番目のチャーン類を計算することで、$\mathbf{X}/S$ 上の曲率と特徴類に接続する。
• カーレイ–グロテンディーク–クヌーデンセン–マウンドの行列式理論を用いて、精緻化されたラインバンド $\mathbb{L}_1$ をチャウ形式および行列式バンドのべきのテンソル積として定義する。
• $G = SL(N+1,\mathbb{C})$-線形化を $\mathbb{L}_1$ に導入し、一パrameter群による $\mathbb{C}^*$-作用の研究を可能にする。
• 固定点 $z_0 = \lambda(0)z$ における $\mathbb{L}_1^\vee$ の双対の $\mathbb{C}^*$-作用の重み $w_\lambda(z)$ を計算し、これが一般化されたフタキ不変量 $F_1(\lambda)$ に等しいことを示す。
• PID上のねじれ加群の構造を用いて、コホモロジー複体の行列式を計算し、その零点の位数を結果式 $R_X$ に特定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 行列式ラインバンドと特徴類を用いて、ヒルベルト多様体上でのCM極分類をどのように精緻化できるか？
• RQ2 $\mathbb{C}^*$-作用における精緻化されたCMラインバンドの重みと一般化されたフタキ不変量の関係は何か？
• RQ3 CM安定性がK安定性を示すのか？ もしそうなら、一般化されたフタキ不変量の消えることによってどのように反映されるか？
• RQ4 どのような条件下で、精緻化されたCM極分類はティアンによって導入された元のCM極分類と同型になるか？
• RQ5 コホモロジー複体における結果式およびねじれ加群の理論が、行列式ラインバンドの零点の位数をどのように決定するか？

主な発見

• 固定点 $z_0 = \lambda(0)z$ における精緻化されたCMラインバンド $\mathbb{L}_1^\vee$ の双対の $\mathbb{C}^*$-作用の重みは、一般化されたフタキ不変量 $F_1(\lambda)$ に等しく、すなわち $w_\lambda(z) = F_1(\lambda)$ である。
• $\mathbb{L}_1$ の1番目のチャーン類は $c_1(\mathbb{L}_1) = p_{1*}(c_1(K_{\mathbf{X}/S})c_1(L)^n + \mu c_1(L)^{n+1})$ で与えられ、曲率と幾何的不変量を結びつける。
• 底空間 $S$ が単連結であるか、またはグロテンディーク・リーマン・ロッホの定理が成り立ち、$\operatorname{Pic}(S) \to H^2(S,\mathbb{Z})$ が単射であるとき、精緻化されたCM極分類 $\mathbb{L}_1$ は元のCM極分類 $\mathbb{L}_S$ と同型である。
• コホモロジー複体の行列式の零点の位数は結果式 $R_X$ によって決定され、$\operatorname{ord}_{R_X}(\det) = (-1)^{n+1}$ であり、行列式は $R_X^{(-1)^{n+1}}$ に特定される。
• ファイバー $\mathbf{X}_z$ 上のマブッチエネルギーは、精緻化されたCMラインバンドのノルムと関係しており、$d(n+1)\nu_{\omega|_{\mathbf{X}_z}}(\varphi_\sigma) = \log(e^{(n+1)\Psi_S(\sigma z)} \frac{||||^2(\sigma z)}{||||^2(z)})$ で与えられ、エネルギーがラインバンドによって制御されることを示す。
• すべての $\lambda$ に対して一般化されたフタキ不変量 $F_1(\lambda)$ が消えるのは、家族がCM安定である場合に限る。これにより、CM安定性 $\Rightarrow$ K安定性 が確立される。