[論文レビュー] CM-stability of blow-ups and canonical metrics

Alberto Della Vedova|ArXiv.org|Oct 30, 2008

Geometry and complex manifolds参考文献 5被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、平坦な閉部分スキームに沿った吹き上げの後、CMラインバンドルの漸近的公式を確立し、CM安定性と吹き上げ中心の相対チャウ安定性を結びつける。主な結果は、相対的にチャウ不安定な部分多様体に沿った極小化された多様体の吹き上げにおいて、例外的除集合類が十分に小さいとき、極小ケーラー計量の存在が妨げられることを示しており、代数的・幾何学的安定性条件を通じて、標準的計量の新たな障害を提供する。

ABSTRACT

An asymptotic formula for the Tian-Paul CM-line of a flat family blown-up at a flat closed sub-scheme is given. As an application we prove that the blow-up of a polarized manifold along a (relatively) Chow-unstable submanifold admits no (extremal) constant scalar curvature Kahler metrics in classes making the exceptional divisors sufficiently small. Moreover a geometric characterization of relatively Chow-unstable configuration of points in the projective space is given. From this we get new examples of classes admitting no extremal Kahler metric also in the case of the projective plane blown-up at a finite set of points.

研究の動機と目的

• 平坦な閉部分スキームに沿った吹き上げ後の平坦ファミリーのCMラインバンドルに対する漸近的公式を導出すること。
• 吹き上げられたファミリーのCM安定性と吹き上げ中心の相対的チャウ安定性との間の関係を確立すること。
• 公式を応用し、特定のクラスにおいて例外的除集合が小さいときの極小ケーラー計量の存在を妨げる結果を得ること。
• 射影空間内の点の配置の相対的チャウ不安定性の幾何的特徴付けを提供すること。
• 特定のケーラークラスにおいて極小ケーラー計量をもたない新たな多様体の例を構成すること。

提案手法

• 吹き上げのCMラインバンドルの漸近的展開を、元のCMラインバンドルと、吹き上げ中心に関連する新たな不変量であるCWラインに基づいて導出する。
• ファミリーに対するPaul–TianのCMライン構成を用い、等変テスト配置を介して吹き上げ設定に拡張する。
• 一般化されたFutaki不変量とFutaki–Mabuchiスカラー積を用いて、テスト配置の中心ファイバーの安定性を分析する。
• 吹き上げのラインバンドルのねじれに関係するパrameter r における漸近的解析を用い、吹き上げのCMラインバンドルが主要項と低次の補正項に分解されることを示す。
• 元の多様体と吹き上げられた多様体の自己同型群の同一視を用いて、極小ベクトル場とその中心ファイバー上での作用を比較する。
• 修正されたFutaki不変量が、r のべき乗に従って減少する誤差項を伴い、漸近的にCW不変量と元のFutaki不変量に支配されることを活用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 平坦な閉部分スキームに沿った吹き上げにおいて、ファミリーのCMラインバンドルはどのように変化するか？
• RQ2 吹き上げパrameter r が無限大に近づく際、吹き上げられたファミリーのCMラインバンドルの正確な漸近的挙動は何か？
• RQ3 例外的除集合が小さいクラスにおいて、極小ケーラー計量の存在が失敗する、代数的・幾何学的条件は何か？
• RQ4 吹き上げ中心の相対的チャウ安定性は、吹き上げられた多様体上の標準的計量の非存在を予測するために用いられるか？
• RQ5 一般化されたFutaki不変量は、吹き上げ後の極小計量の障害に果たす役割は何か？

主な発見

• 吹き上げのCMラインバンドルは、次の漸近的公式を満たす：λ_CM( X̃ /B, L_r ) = λ_CM(X/B, L) ⊗ λ_CW(Y,X/B,L)^{1/r^{n−d−1}} ⊗ O(1/r^{n−d})、ここで r は吹き上げパrameter である。
• 中心 Y が相対的にチャウ不安定な場合、r が十分に大きいとき、吹き上げのCMラインバンドルは不安定化し、極小ケーラー計量の存在が妨げられることを示唆する。
• 吹き上げられたテスト配置における修正されたFutaki不変量は、漸近的に F( X̃, L_r ) − ⟨χ̃₀, α₀⟩ = w_CW(N,A)/r^{n−d−1} + O(1/r^{n−d}) と表され、w_CW(N,A) ≠ 0 ならば非ゼロである。
• 幾何的特徴付けが与えられる：射影空間内の点の配置が相対的にチャウ不安定であるとは、あるテスト配置における関連するCMラインバンドルの重みが負であるときに限り成り立つ。
• 本稿では、CP² を有限個の点で吹き上げた例（例えば）を含む、新たな複素多様体の例を構成し、特定のケーラークラスにおいて極小ケーラー計量をもたないことを示す。
• 吹き上げられた多様体上の極小ベクトル場は、η_r = (1/r²)η + (1/r^{n−d+1})γ + O(1/r^{n−d+2}) とスケーリングされ、計量構造の漸近的挙動を確認する。