[論文レビュー] Coactions of a finite dimensional $C^*$-Hopf algebra on unital $C^*$-algebras, unital inclusions of unital $C^*$-algebras and the strong Morita equivalence

Kazunori Kodaka, Tamotsu Teruya|arXiv (Cornell University)|Jun 29, 2017

Advanced Operator Algebra Research参考文献 11被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、作用素代数における既知の結果の逆を確立している：有限次元 $ C^* $-Hopf代数 $ H^0 $ によるユニタリな $ C^* $-代数 $ A $ および $ B $ 上のねじれ付きコアクション $ (\rho,u) $ および $ (\sigma,v) $ によって誘導されるユニタリ包含 $ A \subset A \rtimes_{\rho,u}H $ と $ B \subset B\rtimes_{\sigma,v}H $ が強くモラータ同値であるとき、かつ相対可換束 $ A' \cap (A\rtimes_{\rho,u}H) = \mathbb{C}1 $ が成り立つならば、ねじれ付きコアクション $ (\rho,u) $ と $ (\sigma,v) $ は $ H^0 $ の自己同型を除いて強くモラータ同値である。この結果により、交叉積の強モラータ同値類によるねじれ付きコアクションの分類が得られる。

ABSTRACT

Let $A$ and $B$ be unital $C^*$-algebras and let $H$ be a finite dimensional $C^*$-Hopf algebra. Let $H^0$ be its dual $C^*$-Hopf algebra. Let $(ρ, u)$ and $(σ, v)$ be twisted coactions of $H^0$ on $A$ and $B$, respectively. In this paper, we shall show the following theorem: We suppose that the unital inclusions $A\subset A times_{ρ, u}H$ and $B\subset B times_{σ, v}H$ are strongly Morita equivalent. If $A'\cap (A times_{ρ, u}H)=\BC1$, then there is a $C^*$-Hopf algebra automorphism $λ^0$ of $H^0$ such that the twisted coaction $(ρ, u)$ is strongly Morita equivalent to the twisted coaction $((\id_B \otimesλ^0 )\circσ\, , \, (\id_B \otimesλ^0 \otimesλ^0 )(v))$ induced by $(σ, v)$ and $λ^0$.

研究の動機と目的

• ユニタリ包含 $ A \subset A\rtimes_{\rho,u}H $ および $ B \subset B\rtimes_{\sigma,v}H $ の強モラータ同値性と、それらの背後にあるねじれ付きコアクション $ (\rho,u) $ および $ (\sigma,v) $ の強モラータ同値性との間の逆関係を調査すること。
• 強モラータ同値性の交叉積包含が、双対 $ C^* $-Hopf代数の自己同型を除いて、対応するねじれ付きコアクションの同値性を示す条件を特定すること。
• ユニタリ $ C^* $-代数上のねじれ付きコアクションの分類結果を、その交叉積の強モラータ同値類を用いて確立すること。
• 従来のねじれ付きコアクションの強モラータ同値性に関する結果を拡張し、相対可換束の非退化性条件下で逆の含意を証明すること。

提案手法

• 著者たちは $ H $ と $ H^0 $ の双対性を用い、$ H $ 上のフーリエ変換を介してねじれ付きコアクションを双対作用に同定する。
• 彼らはヒルベルト $ C^* $-バイモジュール理論および包含の強モラータ同値性の理論を用い、[11, 定義 2.1] と同値バイモジュールの存在に依拠する。
• 主な技術は、$ H^0 $ の $ C^* $-Hopf代数自己同型 $ \lambda^0 $ によって誘導される交叉積 $ A\rtimes_{\rho,u}H $ と $ A\rtimes_{\rho_{\lambda^0},u_{\lambda^0}}H $ 間の同型 $ \pi $ を構成することであり、このような自己同型が包含のモラータ類を保存することを示す。
• 彼らは $ (\rho,u) $ の双対コアクション $ \widehat{\rho} $ を用い、$ \lambda^0 $ によって誘導されるねじれ付きコアクションの双対と関連付ける。[10, 系 4.8] の結果を活用する。
• 証明は、補題 5.3 および 6.1 を用いて、$ \lambda^0 $ の下で双対コアクションとねじれ付きコアクションとの関係を確立し、同型 $ \pi $ を用いて包含間のモラータ同値性を移す。
• 条件 $ A' \cap (A\rtimes_{\rho,u}H) = \mathbb{C}1 $ は包含が非退化であることを保証し、コアクションを結ぶ一意な自己同型 $ \lambda^0 $ の構成を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ユニタリ包含 $ A \subset A\rtimes_{\rho,u}H $ および $ B \subset B\rtimes_{\sigma,v}H $ の強モラータ同値性が、ねじれ付きコアクション $ (\rho,u) $ および $ (\sigma,v) $ の強モラータ同値性を示す条件は何か？
• RQ2 有限次元 $ C^* $-Hopf代数の文脈において、既知の含意（コアクションのモラータ同値性が包含のモラータ同値性を示す）の逆が成り立つかどうか。
• RQ3 二つのねじれ付きコアクションの交叉積包含が強くモラータ同値である場合、それらを結ぶ双対 $ C^* $-Hopf代数 $ H^0 $ の標準的自己同型は存在するか？
• RQ4 相対可換束条件 $ A' \cap (A\rtimes_{\rho,u}H) = \mathbb{C}1 $ はコアクションの構造をどのように制約し、モラータ同値性を用いたコアクションの分類を可能にするか？
• RQ5 強いモラータ同値類が、ねじれ付きコアクションの交叉積包含の強いモラータ同値類によってどの程度決定されるか？

主な発見

• ユニタリ包含 $ A \subset A\rtimes_{\rho,u}H $ および $ B \subset B\rtimes_{\sigma,v}H $ が強くモラータ同値であり、$ A' \cap (A\rtimes_{\rho,u}H) = \mathbb{C}1 $ が成り立つならば、$ H^0 $ の $ C^* $-Hopf代数自己同型 $ \lambda^0 $ が存在し、$ (\rho,u) $ は $ ((\mathrm{id}_B \otimes \lambda^0) \circ \sigma, (\mathrm{id}_B \otimes \lambda^0 \otimes \lambda^0)(v)) $ と強くモラータ同値である。
• $ \lambda^0 $ は $ H $ の $ C^* $-Hopf代数自己同型 $ \lambda $ によって誘導され、すべての $ \psi \in H^0 $、$ h \in H $ に対して $ \lambda^0(\psi)(h) = \psi(\lambda^{-1}(h)) $ を満たす。
• この結果は、既知の含意の逆を確立している：非退化性条件の下で、包含の強モラータ同値性は $ H^0 $ の自己同型を除いてコアクションの強モラータ同値性を示す。
• 証明は、$ A $ 上で恒等写像に制限される交叉積間の同型 $ \pi $ を構成し、包含 $ A \subset A\rtimes_{\rho,u}H $ が $ \lambda^0 $ を用いたねじれの適用によっても強くモラータ同値であることを示す。
• 包含とコアクションの同値性は双対コアクションとヒルベルト $ C^* $-バイモジュールの使用を通じて確立され、条件 $ A' \cap (A\rtimes_{\rho,u}H) = \mathbb{C}1 $ が自己同型 $ \lambda^0 $ の一意性を保証する重要な役割を果たす。
• 系 6.5 は二つの条件の同値性を確立している：(1) 包含の強モラータ同値性、および (2) ある自己同型 $ \lambda^0 $ が存在し、それによってねじれ付きコアクションが誘導されたコアクションを介して強くモラータ同値である。