[論文レビュー] Coag-Frag duality for a class of stable Poisson-Kingman mixtures

Lancelot F. James|arXiv (Cornell University)|Aug 14, 2010

Bayesian Methods and Mixture Models参考文献 17被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、安定劣化子を混合測度として用いる広範な安定ポアソン＝キングマン混合に、凝集・破壊双対性を確立する。これは、2パラメータポアソン＝ディリクレ過程に既知の双対性結果を一般化するものである。凝集作用素はベータ分布混合のガンマ変数を介して作用し、破壊作用素はα-ダイバーシティを保存する。これにより、安定劣化子混合を用いた交換可能な確率測度のより広いクラスへと既存の結果を拡張する。

ABSTRACT

Exchangeable sequences of random probability measures (partitions of mass) and their corresponding exchangeable bridges play an important role in a variety of areas in probability, statistics and related areas, including Bayesian statistics, physics, finance and machine learning. An area of theoretical as well as practical interest, is the study of coagulation and fragmentation operators on partitions of mass. In this regard, an interesting but formidable question is the identification of operators and distributional families on mass partitions that exhibit interesting duality relations. In this paper we identify duality relations for a large sub-class of mixed Poisson-Kingman models generated by a stable subordinator. Our results are natural generalizations of the duality relations developed in Pitman, Bertoin and Goldschmidt, and Dong, Goldschmidt and Martin for the two-parameter Poisson Dirichlet family. These results are deduced from results for corresponding bridges.

研究の動機と目的

• 2パラメータポアソン＝ディリクレ族を超えて、より広いクラスの安定ポアソン＝キングマン混合へ凝集・破壊双対性を拡張すること。
• 安定劣化子を混合測度として用いる交換可能な確率測度の双対関係を同定すること。
• ピットマン、ベルトイン、ドン＝ゴールドシュミット＝マーチンらの既知の双対公式を、ブリッジ表現を用いてより広いモデルクラスへ一般化すること。
• 特にα-ダイバーシティパラメータを含む条件付き分布を用いて、双対性を形式化すること。

提案手法

• 安定劣化子を混合測度として用いるポアソン＝キングマンモデルから導かれる交換可能なブリッジを用いる。
• τα関数および劣化子の性質を用いて、α-ダイバーシティTを定義し、その条件付き分布における役割を明示する。
• 凝集作用素を、パラメータβ((1−α)/α, 1)のベータ分布に従う確率変数を、ガンマ比γ1/α/(γ1/α + ζ)でスケーリングすることで導入する。
• 条件付き分布を通じて双対性を確立する：Y ~ Pα(γ1/α + ζ)であるとき、XのYに関する条件付き分布は、Yの凝集化されたバージョンである。
• T = vの下での(Pk)とs1の条件付き独立性を用い、指数型傾きとラプラス変換を用いてs1|T = vの密度を導出する。
• ピットマンとヨル（2003）の結果を応用し、α-ダイバーシティの条件付き分布における最初の間隔s1の分布を特定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 凝集・破壊双対性は、2パラメータポアソン＝ディリクレ過程を超えて、より広いクラスの安定ポアソン＝キングマン混合へ拡張可能か？
• RQ2 これらの一般化モデルにおける双対性を誘発する凝集作用素の明確な形は何か？
• RQ3 α-ダイバーシティパラメータは双対性構造および条件付き分布にどのように影響を与えるか？
• RQ4 既知の加法的および乗法的双対形式を一般化する再帰的表現が存在するか？
• RQ5 双対性は交換可能なブリッジおよび劣化子混合測度を用いて表現可能か？

主な発見

• 本稿は、Y ~ Pα(γ1/α + ζ)およびX ~ Pα(ζ)であるような双対性図を確立し、XがYのベータ-ガンマ混合による凝集化されたバージョンとして条件付き分布に従うことを示す。
• 凝集作用素は明示的にβ((1−α)/α, 1) × γ1/α / (γ1/α + ζ)として与えられ、α-ダイバーシティv−αを有するYの実現値に作用する。
• T = vの下でのs1の条件付き分布の密度は、(1−y)1/α−1 y−1/α−1 E[exp(−v y1/α ζ1/α) exp(ζ) ζ1/α]に比例し、間隔と混合測度を結びつける。
• 既知の結果が一般化される：ζ ~ γθ/αのとき、モデルはPD(α,θ)族に対するドン、ゴールドシュミット、マーチンの元々の双対性に還元される。
• ζ = γ(n−1)/α + ζ′とおくことで、nをインデックスとする凝集・破壊ステップの鎖として、再帰的双対性が導出される。
• 主要結果は、T = vの下でのs1-凝集化された(Pk)が、凝集化過程の質量の順序付きベクトルと分布的に同等であることであり、ランダム閾値s11はβ((1−α)/α, 1) × W(v)に従い、W(v)はζを含む特定の密度関数を持つ。