[論文レビュー] Coalgebraic Determinization of Alternating Automata

Meven Bertrand, Jurriaan Rot|arXiv (Cornell University)|Apr 7, 2018

Logic, programming, and type systems参考文献 4被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、冪集合モナドと代替的遷移を表す新しいモナドの間の分配法則を用いて、交番オートマトンのコアリズム的決定化フレームワークを提示する。これは、標準的な具体的定義と同等の意味論を達成する。主な貢献は、長年の空白を埋め、代替的オートマトンのための整合的かつ一般化された決定化手続きを構築したことにある。

ABSTRACT

Coalgebra is a currently quite active field, which aims to look at generic state-based systems (most prominently automata) from a very abstract point of view, mainly using tools from category theory. One of its achievements is to give a completely generic approach of determinization, unifying in an elegant manner non-deterministic automata, probabilistic automata or non-deterministic pushdown automata in one and the same model. However, the case of alternating automata fails to easily fit in this model. The aim of this internship was therefore to tackle this problem: can alternating automata also be determinized in the coalgebraic way? Does this give semantics that coincides with the concretely defined one? In this report, we give a positive answer to both questions. The main element of our construction is a distributive law, the definition of which has been for some time an open question.

研究の動機と目的

• 非決定的および確率的オートマトンで成功したコアリズム的決定化を、代替的オートマトンへ拡張すること。
• 代替的オートマトンをコアリズム的枠組みに組み込むという、長年の課題を解決すること。これは、以前の試みでは達成できなかった。
• 代替的オートマトンの分岐構造と受容条件を正しくモデル化するモナドおよび分配法則を構築すること。
• 得られたコアリズム的意味論が、代替的オートマトンの標準的・具体的な意味論と一致することを検証すること。

提案手法

• 非決定的選択と結合的選択を組み合わせることで、代替的オートマトンの構造を捉える新しいモナド $\mathcal{A}$ を導入する。これは、冪集合モナド $\mathcal{P}$ と双対モナド $\mathcal{D}$ の組み合わせである。
• 分配法則 $\lambda: \mathcal{U} \circ \mathcal{D} \to \mathcal{D} \circ \mathcal{U}$ を定義する。ここで $\mathcal{U}$ は上位集合モナドであり、モナドの合成が代替的遷移をモデル化できるようにする。
• 分配法則を用いて合成モナド $\mathcal{D} \circ \mathcal{U}$ を構成する。これにより、存在的分岐と全称的分岐が一元的に扱えるようになる。
• 集合の状態から受容値への写像である意味論代数 $\beta: \mathcal{A}(\mathbf{2}) \to \mathbf{2}$ を定義する。これは、ある受容状態が存在するかどうかに基づく。
• 忘却関手と自由関手の随伴関係を用いてモナド構造を導出し、分配法則の自然性を保証する。
• 遷移関数と代数の関係を示す可換図式を用いて、誘導された行動的意味論が代替的オートマトンの標準的定義と一致することを検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 分配法則やモナドなどの圏論的道具を用いた完全なコアリズム的枠組みで、代替的オートマトンを決定化できるか？
• RQ2 得られたコアリズム的意味論は、存在的および全称的受容条件に基づく標準的・具体的な意味論と一致するか？
• RQ3 代替的オートマトンの分岐行動を正しくモデル化するモナド構造は何か？ これは存在的および全称的選択を組み合わせるものである。
• RQ4 冪集合モナドと双対モナドの合成を可能にする分配法則は存在するか？ これにより代替的遷移が捉えられる。
• RQ5 抽象的なコアリズム的構成が、代替的オートマトンの既知の振る舞いを再現することをどのように検証できるか？

主な発見

• 本稿では、上位集合モナド $\mathcal{U}$ と双対モナド $\mathcal{D}$ の間の分配法則を成功裏に構築し、コアリズム的理論における長年の未解決問題を解決した。
• 分配法則から導かれた合成モナド $\mathcal{D} \circ \mathcal{U}$ は、代替的オートマトンの状態空間と遷移構造を正しくモデル化している。
• 代数 $\beta$ を通じて誘導された意味論は、標準的な受容条件を再現している：文字列が受容されるとは、すべての分岐が受容するような走査が存在することを意味する。
• 行動写像 $\operatorname{beh}_1$ は期待される等式を満たす：$\operatorname{beh}_1(q)(\varepsilon) = o(q)$ および $\operatorname{beh}_1(q)(aw) = \mathbf{1}$ となるのは、$\delta(q)(a)$ に属する遷移集合 $F$ が存在し、すべての $q' \in F$ に対して $\operatorname{beh}_1(q')(w) = \mathbf{1}$ となる場合に限る。これは具体的な定義と一致する。
• この構成は整合的であり、コアリズム的枠組みと完全に適合しており、代替的オートマトンが他の状態ベースのシステムと同様に一様に、一般化された方法で取り扱えることを示している。