[論文レビュー] Coalition Games on Interaction Graphs: A Horticultural Perspective

Nicolás Bousquet, Zhentao Li+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 26, 2015

Game Theory and Voting Systems参考文献 14被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、連携部分グラフを形成する場合にのみ有効な団体ゲームにおけるパッケージング・カバーイング比および整数性ギャップを正確に特徴付けるために、『thicketパラメータ』を導入する。この論文は、thicket数が木的分解の最小幅に等しいことを証明し、原始的および双対的整数性ギャップに対してタイトな境界を提供する。原始的ギャップはthicket数に線形に依存するが、双対的ギャップは多項式に依存することを示している。

ABSTRACT

We examine cooperative games where the viability of a coalition is determined by whether or not its members have the ability to communicate amongst themselves independently of non-members. This necessary condition for viability was proposed by Myerson (1977) and is modeled via an interaction graph $G=(V,E)$; a coalition $S\subseteq V$ is then viable if and only if the induced graph $G[S]$ is connected. The non-emptiness of the core of a coalition game can be tested by a well-known covering LP. Moreover, the integrality gap of its dual packing LP defines exactly the multiplicative least-core and the relative cost of stability of the coalition game. This gap is upper bounded by the packing-covering ratio which, for graphical coalition games, is known to be at most the treewidth of the interaction graph plus one (Meir et al. 2013). We examine the packing-covering ratio and integrality gaps of graphical coalition games in more detail. We introduce the thicket parameter of a graph, and prove it precisely measures the packing-covering ratio. It also approximately measures the primal and dual integrality gaps. The thicket number provides an upper bound of both integrality gaps. Moreover we show that for any interaction graph, the primal integrality gap is, in the worst case, linear in terms of the thicket number while the dual integrality gap is polynomial in terms of it. At the heart of our results, is a graph theoretic minmax theorem showing the thicket number is equal to the minimum width of a vine decomposition of the coalition graph (a vine decomposition is a generalization of a tree decomposition). We also explain how the thicket number relates to the VC-dimension of the set system produced by the game.

研究の動機と目的

• 相互作用グラフに従って有効性が決まる団体ゲームにおける整数性ギャップを理解すること。
• 新しいグラフパラメータを用いて、乗法的最小コアおよび安定性の相対的コストを特徴付けること。
• 新しいグラフ論的測度を用いて、原始的および双対的整数性ギャップのタイトな境界を確立すること。
• thicketパラメータを、既存の概念（木幅やVC次元）と関連付けること。

提案手法

• グラフの木的分解の最小幅を測る指標として、thicketパラメータを導入する。
• thicket数が団体ゲームにおけるパッケージング・カバーイング比に等しいことを証明する。
• min-max定理を用いて、thicket数が木的分解の最小幅に等しいことを示す。
• パスのべきグラフ上で定義されたゲームの族を構築し、原始的整数性ギャップのタイトな下界を確立する。
• カバーとパッケージングの線形計画法の強い双対性を応用し、最小コアと双対的整数性ギャップの関係を関係づける。
• 原始的整数性ギャップがthicket数に対して線形で、かつこの境界がtightであることを示す。また、双対的ギャップはthicket数に対して多項式的であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのグラフパラメータが、団体ゲームにおけるパッケージング・カバーイング比を正確に測定するか？
• RQ2 原始的および双対的整数性ギャップは、相互作用グラフの構造とどのように関係するか？
• RQ3 thicket数は、木的分解を含むmin-max定理によって特徴付けられるか？
• RQ4 thicket数を用いて、原始的整数性ギャップの最もタイトな上界は何か？
• RQ5 thicket数は、木幅やVC次元といった他のグラフパラメータとどのように関係するか？

主な発見

• thicket数は、団体ゲームにおけるパッケージング・カバーイング比に正確に等しい。
• thicket数は、相互作用グラフの木的分解の最小幅に等しい。
• 原始的整数性ギャップはthicket数に対して線形で、かつパスのべきグラフにおいてこの境界がタイトである。
• 双対的整数性ギャップはthicket数に対して多項式的であり、nが大きい場合、下界として(1−2/k)·τ(G)の形を取る。
• thicket数は、原始的および双対的整数性ギャップの両方の上界を提供する。
• thicket数は、ゲームの有効な団体によって誘導される集合系のVC次元と関連している。