[論文レビュー] Coarse Baum-Connes conjecture and rigidity for Roe algebras

Bruno de Mendonça Braga, Yeong Chyuan Chung+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 24, 2019

Advanced Operator Algebra Research参考文献 28被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、粗い Baum-Connes予想とRoe代数の剛性を結びつける。2つの一様局所有限な距離空間が $*$-同型なRoe代数を持つ場合、かつ片方が係数付き粗い Baum-Connes 予想を満たすならば、それらの空間は粗い同値である。主な貢献は、ヒルベルト空間に粗く埋め込める空間に限らない、より広いクラスの空間に対して剛性結果を拡張したことである。このクラスは、ゴースト射影の性質によって定義される。

ABSTRACT

In this paper, we connect the rigidity problem and the coarse Baum-Connes conjecture for Roe algebras. In particular, we show that if $X$ and $Y$ are two uniformly locally finite metric spaces such that their Roe algebras are $*$-isomorphic, then $X$ and $Y$ are coarsely equivalent provided either $X$ or $Y$ satisfies the coarse Baum-Connes conjecture with coefficients. It is well-known that coarse embeddability into a Hilbert space implies the coarse Baum-Connes conjecture with coefficients. On the other hand, we provide a new example of a finitely generated group satisfying the coarse Baum-Connes conjecture with coefficients but which does not coarsely embed into a Hilbert space.

研究の動機と目的

• 係数付き粗い Baum-Connes 予想と結びつけて、Roe代数の剛性問題を扱う。
• ヒルベルト空間に粗く埋め込める空間に限らない、より大きなクラスの距離空間へ既知の剛性結果を拡張する。
• すべてのスパarsな部分空間がRoe代数内でコンパクトなゴースト射影しか持たないような、新しい距離空間のクラスを特徴づける。
• 係数付き粗い Baum-Connes 予想を満たすが、ヒルベルト空間に粗く埋め込めない、有限生成群の例を構成し、未解決の問題に答えを提示する。
• 非可換群に対して、係数付き粗い Baum-Connes 予想のもとで、均一Roe双対剛性を確立する。

提案手法

• 距離空間のすべてのスパarsな部分空間が、そのRoe代数内でコンパクトなゴースト射影しか生成しないという幾何的条件を導入・分析する。
• 係数付き粗い Baum-Connes 予想を用いて、Roe代数内に非コンパクトなゴースト射影が存在しないことを排除する。
• 境界粗い Baum-Connes 代数マップと、群のグロイド交叉積を介した標準的 Baum-Connes マップとの関係を適用する。
• ヒルベルト空間への粗い埋め込みがこの幾何的条件を含むが、それが厳密に弱いかつより弱いかを示す。
• Roe代数と安定的／均一Roe代数の $*$-同型を用いて、予想の仮定のもとで粗い同値性を導出する。
• この幾何的条件を用いて、係数付き粗い Baum-Connes 予想を満たすがヒルベルト空間に粗く埋め込めない有限生成群の構成を行う。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 係数付き粗い Baum-Connes 予想が、$*$-同型なRoe代数を持つ空間が粗い同値であることを示唆するか？
• RQ2 スパarsな部分空間におけるゴースト射影の幾何的条件は、ヒルベルト空間への粗い埋め込みよりも厳密に弱いか？
• RQ3 有限生成群が係数付き粗い Baum-Connes 予想を満たすが、ヒルベルト空間に粗く埋め込めない例は存在するか？
• RQ4 Roe代数の代数的同型に基づいて、距離空間がいつRoe剛性または均一Roe剛性を示すか？
• RQ5 非可換群に対して、係数付き粗い Baum-Connes 予想が、均一Roe双対剛性を示唆するか？

主な発見

• もし $X$ と $Y$ が一様局所有限な距離空間であり、$*$-同型なRoe代数を持つ場合、かつ片方が係数付き粗い Baum-Connes 予想を満たすならば、$X$ と $Y$ は粗い同値である。
• すべてのスパarsな部分空間がコンパクトなゴースト射影しか生成しないという幾何的条件は、ヒルベルト空間への粗い埋め込みよりも厳密に弱い。
• 係数付き粗い Baum-Connes 予想を満たすが、ヒルベルト空間に粗く埋め込めない、有限生成群の新しい例が構成された。
• すべてのスパarsな部分空間がコンパクトなゴースト射影しか生成しないという条件は、一様局所有限な距離空間に対して均一Roe剛性を示す。
• 非可換な距離空間が係数付き粗い Baum-Connes 予想を満たす場合、均一Roe双対剛性が成り立つ。
• 係数付き粗い Baum-Connes 予想は、Roe代数内に非コンパクトなゴースト射影が存在しないことを示し、これが剛性結果の鍵となる。