[論文レビュー] Coarse embeddability into Banach spaces

Mikhail I. Ostrovskii|ArXiv.org|Feb 25, 2008

Advanced Operator Algebra Research参考文献 49被引用数 19

ひとこと要約

この論文は、バナッハ空間への粗い埋め込みに関するメトリック空間の研究を扱い、特に有界幾何をもつ空間がヒルベルト空間や他のバナッハ空間に粗く埋め込まれるかを焦点にしている。粗い非埋め込み性がℓ₂に存在する場合、拡張子に類似した構造が存在することを示し、ℓ₂が埋め込みに最も難しい空間ではないことを示しており、特定のバナッハ空間におけるℓ₁のリプシッツ埋め込みに関する新しい構成とリプシッツ定数の推定値を提供している。

ABSTRACT

The main purposes of this paper are (1) To survey the area of coarse embeddability of metric spaces into Banach spaces, and, in particular, coarse embeddability of different Banach spaces into each other; (2) To present new results on the problems: (a) Whether coarse non-embeddability into $\ell_2$ implies presence of expander-like structures? (b) To what extent $\ell_2$ is the most difficult space to embed into?

研究の動機と目的

• 有界幾何をもつ空間について、メトリック空間がバナッハ空間に粗く埋め込まれる理論を概説すること。
• ℓ₂への粗い非埋め込み性が、拡張子に類似した構造の存在を示唆するかを調査すること。
• ℓ₂が粗い埋め込みにおいて、どの程度最も困難なバナッハ空間であるかを特定すること。
• バナッハ空間が有限次元部分空間へのシューディンガー分解をもつ場合の、ℓ₁のリプシッツ埋め込みに関する新しい結果を提示すること。
• 無限次元バナッハ空間の埋め込みにおいて、ドヴォレツキの定理と基本列構成の役割を分析すること。

提案手法

• 制御関数ρ₁とρ₂を用いた粗い埋め込みの定義（ρ₁(d(x,y)) ≤ d(f(x),f(y)) ≤ ρ₂(d(x,y)) かつ limᵣ→∞ρ₁(r) = ∞ を満たす）を用いる。
• 埋め込みの障害を分析するために、有界幾何および局所的に有限なメトリック空間の概念を適用する。
• P. エンフロの研究に基づく構成を用い、それらを変形することで、特定の局所的に有限な空間がヒルベルト空間に粗く埋め込めないことを示す。
• 有界してゼロから離れたヒーチャー定数を持つ、有限で正則で連結なグラフの族（拡張子）を用い、ℓₚ（1 ≤ p < ∞）への粗い埋め込みの障害とする。
• バナッハ空間Yにシューディンガー分解 {Yᵢ} ≅ ℓ₂ⁿᵢ をもつ場合に、ℓ₁からYへのリプシッツ写像φを構成し、そのリプシッツ定数と逆写像のリプシッツ定数を推定する。
• ドヴォレツキの定理と基本列の技法を適用し、任意の無限次元バナッハ空間が、このような分解をもつ空間に線形同型な部分空間を含むことを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ℓ₂への粗い非埋め込み性は、メトリック空間に拡張子に類似した構造が存在することを示唆するか？
• RQ2 有界幾何をもつメトリック空間の粗い埋め込みにおいて、ℓ₂がどの程度最も困難なバナッハ空間であるか？
• RQ3 任意の無限次元バナッハ空間は、有限次元のℓ₂ⁿᵢ部分空間へのシューディンガー分解をもつ空間に線形同型な部分空間を含むか？
• RQ4 特定のシューディンガー分解をもつバナッハ空間へのℓ₁の埋め込みにおけるリプシッツ定数の鋭い推定値は何か？
• RQ5 特定の局所的に有限なメトリック空間がヒルベルト空間に埋め込めないことは、拡張子を用いて特徴づけられるか？

主な発見

• ℓ₂への粗い非埋め込み性は、拡張子に類似した構造の存在を示し、グロモフの観察により、等長写像で拡張子のコピーを含む空間は、1 ≤ p < ∞ に対してℓₚに粗く埋め込めないことが示されている。
• ℓ₂は埋め込みに最も難しい空間ではない。特定のメトリック空間が、ℓ₂ⁿᵢ部分空間へのシューディンガー分解をもつバナッハ空間に粗く埋め込まれる例が存在する。
• シューディンガー分解 {Yᵢ} ≅ ℓ₂ⁿᵢ をもつバナッハ空間Yへのℓ₁からのリプシッツ埋め込みφを構成し、||a||_Z と ||b||_Z のノルム比較に基づいたリプシッツ定数の推定値を導出している。
• ||a - b||_Z が ||a||_Z - ||b||_Z よりもはるかに大きい場合、特に ||a - b||_Z ≥ 5(||a||_Z - ||b||_Z) のとき、埋め込みφの逆写像のリプシッツ定数は制御可能である。
• ||a||_Z - ||b||_Z ≥ ||a - b||_Z / 5 の場合、埋め込みにおけるノルム寄与の和は、||φ(a) - φ(b)||_Y に対して下界 ||a - b||_Z / 5 を与える。
• ドヴォレツキの定理と基本列の技法を用いることで、任意の無限次元バナッハ空間が、有限次元のℓ₂ⁿᵢ部分空間へのシューディンガー分解をもつ空間に線形同型な部分空間を含むことが示され、このような空間への粗い埋め込みが可能になる。