[論文レビュー] Coarse geometry and asymptotic dimension

Bernd Grave|ArXiv.org|Jan 30, 2006

Holomorphic and Operator Theory参考文献 14被引用数 11

ひとこと要約

本稿は、メトリシング可能なコンパクト化が存在する2つの粗い空間が、かつてそのHigsonコーナーが位相的に同相であるときかつそのときに限り粗い同値であることを示すことで、粗い幾何学と漸近次元の間に深い関係を確立する。射影値測度を用いた翻訳C*-代数の定義、測度の選択に依存しないことの証明、および主要な結果の導出を行う。具体的には、メトリシング可能なコンパクト化が存在する空間について、漸近次元は被覆次元に1を加えたものに等しくなり、また、完全で単連結で負の曲率を持つ多様体の漸近次元はその位相次元に等しいことが示される。

ABSTRACT

We consider asymptotic dimension of coarse spaces. We analyse coarse structures induced by metrisable compactifications. We calculate asymptotic dimension of coarse cell complexes. We calculate the asymptotic dimension of certain negatively curved spaces, e.g. for complete, simply connected manifolds with bounded, strictly negative sectional curvature.

研究の動機と目的

• メトリシング可能なコンパクト化が存在する空間について、Higsonコーナーの観点から粗い同値性の特徴づけを確立すること。
• 射影値測度を用いて、一様に有界で可算な被覆を持つ粗い空間上に堅牢な翻訳C*-代数の枠組みを構築すること。
• 一般の粗い空間における漸近次元を特徴づけ、単調性や積の推定式といった基本的性質を証明すること。
• κ < 0 で滑らかに被覆された球面を持つCAT(κ)-空間について、その漸近次元がn以下であることを示し、これにより完全で単連結なリーマン多様体が正の負の曲率を持つ場合に asdim(X) = dim(X) が成り立つことを証明すること。
• 粗いセル複体の漸近次元がその次元に等しいという予想を解決すること。

提案手法

• メトリシング可能なコンパクト化によって誘導される粗い構造を定義し、Higsonコーナー構成を用いて粗い同値性とコーナーの位相的同相性を関連付ける。
• 一様に有界で可算な被覆を持つ粗い空間上で、射影値測度を用いて翻訳C*-代数を構成し、測度の選択に依存しないことを証明する。
• 幾何的ヒルベルト空間上の作用素に対して、作用素論における零集合を丁寧に取り扱うために、サポート計算を導入する。
• 擬距離空間および粗い空間における漸近次元を定義し、単調性や有限被覆の公式といった基本的性質を証明する。
• 粗いセル複体を定義し、三角形分割の技術を用いてその漸近次元が次元に等しいことを証明する。
• 負の曲率を持つ多様体における球面の微分幾何学的性質を用いて有界幾何を示し、歪みが有界な三角形分割に関する結果を応用して asdim(X) = dim(X) を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 メトリシング可能なコンパクト化が存在する2つの粗い空間が、いつ粗い同値となるか？
• RQ2 翻訳C*-代数はどのように構成され、その射影値測度への依存性はどのように示されるか？
• RQ3 Higsonコーナーの被覆次元と漸近次元の関係は何か？
• RQ4 完全で単連結なリーマン多様体が正の負の断面曲率を持つ場合、その漸近次元は何か？
• RQ5 粗いセル複体の漸近次元はその位相次元に等しいか？

主な発見

• メトリシング可能なコンパクト化が存在する2つの粗い空間が、かつてそのHigsonコーナーが位相的に同相であるときかつそのときに限り粗い同値である。
• メトリシング可能なコンパクト化Kによって誘導される粗い空間(X, E)の漸近次元は、asdim(X, E) = dim(K \ X) + 1 で与えられる。
• 有界で正の負の断面曲率を持つ完全で単連結なリーマン多様体Xについて、asdim(X) = dim(X) が成り立つ。
• asdim(X × Y) < asdim(X) + asdim(Y) が成り立つような粗い空間XとYが存在し、これは部分加法性を示している。
• κ < 0 で滑らかに被覆された球面を持つCAT(κ)-空間の漸近次元は、球面の次元nに対してn以下である。
• 粗いセル複体の漸近次元はその次元に等しく、自然な予想が確認された。