[論文レビュー] Coassociative K3 fibrations of compact G_2-manifolds

Alexei Kovalev|arXiv (Cornell University)|Nov 6, 2005

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 30被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、2つの漸近的に円筒型のSU(3)-多様体から得られる一般化された接続和構成を用いて、コンパクトなG₂-多様体の最初の既知のファイブレーションを、共随伴的最小部分多様体によって構成する。各SU(3)-多様体をLefschetzペンキルによるK3表面のファイブレーションで纏めることで、接合によりS³上の共随伴的ファイブレーションが得られ、特異ファイバーは通常の二重点を持つK3軌道に微分同相であり、ホフ型のリンクによってパラメトライズされる。

ABSTRACT

A class of examples of Riemannian metrics with holonomy G_2 on compact 7-manifolds was constructed by the author in arXiv:math.DG/0012189 and later in a joint work with N.-H. Lee in arXiv:0810.0957, using a certain `generalized connected sum' of two asymptotically cylindrical manifolds with holonomy SU(3). We consider, on each of the two initial SU(3)-manifolds, a fibration arising from a Lefschetz pencil of K3 surfaces. The gluing of the two K3 fibrations yields a coassociative fibration of the connected sum G_2-manifold over a 3-dimensional sphere. The singular fibres of this fibration are diffeomorphic to K3 orbifolds with ordinary double points and are parameterized by a Hopf-type link. We believe that these are the first examples of fibrations of compact manifolds of holonomy G_2 by coassociative minimal submanifolds.

研究の動機と目的

• G₂幾何学における長年の予想的構造である、コンパクトG₂-多様体の共随伴的最小部分多様体による明示的ファイブレーションの構成。
• 共随伴的部分多様体のMcLeanの変形理論を、通常の二重点を持つ共随伴的K3軌道に拡張すること。
• 一般化された接続和構成における「長い首」条件に対応する、torsion-free G₂構造のモジュライ空間の境界付近に対応する条件下で、このようなファイブレーションが存在することの証明。
• 特異ファイバーがC¹,αの意味で滑らかであり、特異性がcodimension-2の族をなすことを示し、特殊ラグランジュファイブレーションにおけるcodimension-1の特異性と対照的であること。
• Banach空間における陰関数定理を用いた摂動的解析により、G₂計量の接合構成[Ko]に依拠して、このようなファイブレーションの存在を確立すること。

提案手法

• [Ko]で開発された、ホロノミーがSU(3)の2つの漸近的に円筒型のSU(3)-多様体からG₂-多様体を一般化された接続和で構成する手法を用いる。
• 各SU(3)-多様体に対して、K3表面のLefschetzペンキルを用いてファイブレーションを構成し、S²上のファイブレーションを誘導し、24個の特異ファイバーを持つ。
• 円筒的端部に沿って2つのK3ファイブレーションを接合し、G₂-多様体上のS³上のファイブレーションを得る。
• 小さな torsion を持つ近似ファイブレーションに対して摂動的解析を適用し、Banach空間における陰関数定理を用いて、真の共随伴的ファイブレーションへと変形する。
• 線形化作用素を解析することで、McLeanの変形理論を共随伴的K3軌道に拡張し、軌道の場合の核および余核条件が満たされることを示す。
• 微分係数と曲率の推定により、特異ファイバー上でもC¹,α正則性を確立し、ファイブレーションを定義するベクトル場が特異軌跡でリプシッツ連続であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 コンパクトG₂-多様体は共随伴的最小部分多様体によるファイブレーションで構成可能か？ もし可能ならば、そのファイブレーションの構造はどのようなものか？
• RQ2 このようなファイブレーションの特異ファイバーはどのように振る舞い、どのような位相的・幾何的構造を示すか？
• RQ3 共随伴的部分多様体の変形理論は、通常の二重点を持つ特異共随伴的K3軌道に拡張可能か？
• RQ4 G₂構造（例えば接続和における「長い首」）にどのような条件が、このようなファイブレーションの存在を保証するか？
• RQ5 特異ファイバーのcodimensionが、特に特殊ラグランジュファイブレーションにおけるものと比較して、ファイブレーションの正則性はどのように異なるか？

主な発見

• 共随伴的最小部分多様体によるコンパクトG₂-多様体のファイブレーションの、最初の既知の例が構成され、一般ファイバーはK3表面に微分同相である。
• 特異ファイバーは通常の二重点を持つK3軌道であり、S³内のホフ型リンクによってパラメトライズされる、S¹ファミリーで有限個に制限される。
• 特異ファイバー上でもC¹,α正則性が保たれ、特殊ラグランジュファイブレーションにおける区分的滑らかさとは対照的である。
• 閉3形式によって定義される周囲のG₂構造の小さな摂動に対しても、陰関数定理の議論によりファイブレーションが存続することが示された。
• 構成はMcLeanの変形理論を共随伴的K3軌道に拡張することに依拠し、特異ファイバー上の自己双対な調和2形式は、Kähler形式および(2,0)形式の実部・虚部で張られる。
• ファイブレーションを定義するベクトル場のC¹ノルムは、摂動に用いられる1形式ηのC¹ノルムによって有界であり、接続和における首の長さTに依存しない一様な境界を持つ。