[論文レビュー] Cobordism Categories and Parametrized Morse Theory

Nathan Perlmutter|arXiv (Cornell University)|Mar 3, 2017

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 8被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、臨界点の指数が中央の範囲外にある制限付きモース関数を備えたコボルディズム圏の分類空間と、トムスペクトルの無限ループ空間との間で弱ホモトピー同値が確立されている。モース関数の臨界点の指数を中央範囲外に制限することにより、著者たちはMadsen-Weissの定理を一般化し、偶数次元多様体のモジュライ空間に対する高次元 Mumford 猜測の新たな証明を提供している。

ABSTRACT

Fix a tangential structure $θ: B \longrightarrow BO(d+1)$ and an integer $k < d/2$. In this paper we determine the homotopy type of a cobordism category $\mathbf{Cob}^{ ext{mf}, k}_θ$, where morphisms are given by $θ$-cobordisms $W: P ightsquigarrow Q$ equipped with a choice of proper Morse function $h_{W}: W \longrightarrow [0, 1]$, with the property that all critical points $c \in W$ of $h_{W}$ satisfy the condition: $k < ext{index}(c) < d-k+1$. In particular, we prove that there is a weak homotopy equivalence $B\mathbf{Cob}^{ ext{mf}, k}_θ \simeqΩ^{\infty}\mathbf{hW}^{k}_θ$, where $\mathbf{hW}^{k}_θ$ is a Thom spectrum associated to the space of Morse jets on $\mathbb{R}^{d+1}$. In the special case that $k = -1$, the equivalence $B\mathbf{Cob}^{ ext{mf}, -1}_θ \simeqΩ^{\infty}\mathbf{hW}^{-1}_θ$ follows from the work of Madsen and Weiss used in their celebrated proof of the Mumford conjecture. Following the methods of Madsen and Weiss we use the weak equivalence $B\mathbf{Cob}^{ ext{mf}, k}_θ \simeqΩ^{\infty}\mathbf{hW}^{k}_θ$ to give an alternative proof the "high-dimensional Madsen-Weiss theorem" of Galatius and Randal-Williams which identifies the homology of the moduli spaces, $BDiff((S^{n} imes S^{n})^{\# g}, D^{2n})$, in the limit $g o \infty$.

研究の動機と目的

• モース関数の臨界点の指数が $(k, d-k+1)$ の範囲内にある $\theta$-コボルディズムを備えた $d$-多様体としての対象を持つコボルディズム圏 ${\mathbf{Cob}}^{\operatorname*{mf},k}_{\theta}$ のホモトピー型を特定すること。
• 全コボルディズム圏から、指数制約付きモース関数を持つ部分圏へのホモトピー同値を拡張することで、Madsen-Weissの定理を一般化すること。
• この新しい同値を用いて、$2n$-多様体のモジュライ空間に対する高次元 Madsen-Weiss 定理の別証明を提供すること。
• ${\mathbf{hW}}^{k}_{\theta}$ を $\mathbb{R}^{d+1}$ 上のモースジェットに関連するトムスペクトルとするとき、弱ホモトピー同値 $B{\mathbf{Cob}}^{\operatorname*{mf},k}_{\theta} \simeq \Omega^{\infty}\mathbf{hW}^{k}_{\theta}$ を確立すること。
• 対象の $\theta$-構造の連結性条件によって定義される部分圏を扱えるように、Madsen と Weiss の枠組みを拡張すること。

提案手法

• 対象が $k$-連結な $\theta$-構造を持つ $d$-多様体で、モース関数の臨界点の指数が $(k, d-k+1)$ の範囲内にある $\theta$-コボルディズムであるような、${\mathbf{Cob}}^{\operatorname*{mf}}_{\theta}$ の部分圏としてコボルディズム圏 ${\mathbf{Cob}}^{\operatorname*{mf},k}_{\theta}$ を定義する。
• ポントリャーギン＝トムの構成とホモトピー余極限分解を用いて、分類空間 $B{\mathbf{Cob}}^{\operatorname*{mf},k}_{\theta}$ を分析し、埋め込み空間と $\theta$-構造の空間に結びつける。
• 局所化系列を構成し、パラメータ付き手術技法を用いて、制限付き指数を持つハンドルの寄与を分離する。
• 指数制約付きハンドルを持つフレームドコボルディズムの空間 $\mathcal{L}^{k}_{P,\mathbf{t}}$ を導入し、トレース写像と分解写像の明示的構成により、モースデータの空間 $\mathcal{W}^{k}_{P,\mathbf{t}}$ と弱ホモトピー同値であることを示す。
• 偏順序圏 $\mathcal{K}^k$ 上の関手間の自然変換を用いて、コボルディズム圏の分類空間と無限ループ空間 $\Omega^{\infty}\mathbf{hW}^{k}_{\theta}$ の間で、弱ホモトピー同値のズイガッジを確立する。
• $\mathcal{L}^{k}_{P,\mathbf{t}} \simeq \mathcal{W}^{k}_{P,\mathbf{t}}$ の同値を活用し、ホモトピー余極限をたどり、Madsen-Weiss の既知の結果を適用することで、主結果を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 モース関数の臨界点の指数が $(k, d-k+1)$ の範囲内にある $\theta$-コボルディズムを備えたコボルディズム圏 ${\mathbf{Cob}}^{\operatorname*{mf},k}_{\theta}$ のホモトピー型は何か？
• RQ2 Madsen-Weiss の定理は、モース関数の挙動が制限されたコボルディズムの部分圏へ一般化可能か？
• RQ3 指数制約付きモース関数の導入は、コボルディズム圏の分類空間のホモトピー型にどのように影響するか？
• RQ4 $B{\mathbf{Cob}}^{\operatorname*{mf},k}_{\theta}$ とトムスペクトル $\mathbf{hW}^{k}_{\theta}$ の無限ループ空間との間で弱ホモトピー同値が存在するか？
• RQ5 制限付きコボルディズム圏を用いたこの新しい同値を用いて、高次元 Madsen-Weiss 定理を再証明できるか？

主な発見

• ${\mathbf{hW}}^{k}_{\theta}$ を $\mathbb{R}^{d+1}$ 上のモースジェットに関連するトムスペクトルとするとき、弱ホモトピー同値 $B{\mathbf{Cob}}^{\operatorname*{mf},k}_{\theta} \simeq \Omega^{\infty}\mathbf{hW}^{k}_{\theta}$ が成立する。
• $k = -1$ の特別な場合、元の Madsen-Weiss の定理が回復され、これは Mumford 猜測の証明に用いられた。
• この同値により、$g \to \infty$ の極限におけるモジュライ空間 $\operatorname*{BDiff}((S^n \times S^n)^{\#g}, D^{2n})$ に対する高次元 Madsen-Weiss 定理の別証明が可能になる。
• 証明は、指数制約付きハンドルを持つフレームドコボルディズムの空間とモースデータの空間との間の弱ホモトピー同値に依拠しており、トレース写像と分解写像の明示的構成によって確立される。
• 分類空間のホモトピー余極限分解は、弱同値のズイガッジを介して、トムスペクトル $\mathbf{hW}^{k}_{\theta}$ の無限ループ空間と同値であることが示された。
• 対象の $\theta$-構造の連結性制約とモース関数の指数制約を組み込むことで、Madsen-Weiss の枠組みが一般化され、本質的なホモトピー的構造が保持される。