[論文レビュー] Cobordisms of fold maps and maps with prescribed number of cusps

Tobias Ekholm, András Szücs+1 more|ArXiv.org|Jan 16, 2007

Geometric and Algebraic Topology参考文献 8被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、閉じた 2k-次元多様体から (3k−1)-次元空間への安定写像における尖点の数の可能性を特定し、(3k−2)-次元の標的多様体への折りたたみ写像（折りたたみ特異値のみをもつ写像）のコボルディズム群を計算する。特に、向き付け可能な (4m+1)-次元多様体から (6m+1)-次元多様体への写像に対して、折りたたみコボルディズム群は向き付け可能なボルドゥズム群と同型であることが示され、(4m−1)-次元多様体に対しては、その群が向き付け可能なボルドゥズム群に Z_{3^t} 要素を加えたものと同型である。ここで t は 2m+j の三進法表記における数の和に依存する。

ABSTRACT

A generic smooth map of a closed $2k$-manifold into $(3k-1)$-space has a finite number of cusps ($Σ^{1,1}$-singularities). We determine the possible numbers of cusps of such maps. A fold map is a map with singular set consisting of only fold singularities ($Σ^{1,0}$-singularities). Two fold maps are fold bordant if there are cobordisms between their source- and target manifolds with a fold map extending the two maps between the boundaries, if the two targets agree and the target cobordism can be taken as a product with a unit interval then the maps are fold cobordant. We compute the cobordism groups of fold maps of $(2k-1)$-manifolds into $(3k-2)$-space. Analogous cobordism semi-groups for arbitrary closed $(3k-2)$-dimensional target manifolds are endowed with Abelian group structures and described. Fold bordism groups in the same dimensions are described as well.

研究の動機と目的

• 閉じた 2k-次元多様体から (3k−1)-次元空間への安定写像における尖点の数の可能性を特定すること。
• (2k−1)-次元多様体から (3k−2)-次元空間への折りたたみ写像のコボルディズム群を計算すること。
• 任意の閉じた (3k−2)-次元多様体への折りたたみ写像のコボルディズム半群の構造を記述し、特にアーベル群構造を特定すること。
• 上部正規ポントリャーギン類と三進法表記における数の和が、向き付け可能な折りたたみ写像のコボルディズム群におけるトーショントルションを決定する役割を分析すること。

提案手法

• ジャンル・トランスバーシャルティの定理を用いて、特異的ストラトゥムのcodimensionを特定：折りたたみ特異値では codimension k+1、尖点では codimension 2(k+1)。
• トランスバーシャルティとコボルディズム理論を適用し、2k+1 > n のとき、折りたたみコボルディズム類が被覆多様体によって決定されることを示し、等号が成立する場合の群を計算する。
• 折りたたみコボルディズム群から向き付け可能なボルドゥズム群への忘却的準同型を導入し、それが同型であるか、またはトーショントルションを有するかを分析する。
• コボルディズムにおいて尖点の mod 2 数を数える不変量を導入し、Z_2 トーショントルションを検出する。さらに、整数の三進法表記における数の和を用いて、これを Z_{3^t} トーショントルションに一般化する。
• 普遍係数定理とポアンカーレ双対性を用い、標的多様体のホモロジー的条件と Z_2 へのホモモーマーフィズムの消失を関連づけ、これが尖点の偶奇性を制御することを示す。
• 代数的トポロジーの道具、特に Ext および Hom ファンクターを用い、半群の完全系列がコボルディズム半群に群構造をもたらすことを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 閉じた 2k-次元多様体から (3k−1)-次元空間への安定写像において、尖点の数として可能な値は何か？
• RQ2 折りたたみ写像のコボルディズム群から向き付け可能なボルドゥズム群への忘却的写像が同型となる条件は何か？
• RQ3 一般の (3k−2)-次元多様体への折りたたみ写像のコボルディズム半群の構造は何か？
• RQ4 符号付きで数えた代数的尖点数が、(4m−1)-次元多様体の折りたたみ写像のコボルディズム群におけるトーショントルションをどのように決定するか？
• RQ5 標的多様体 P にどのような位相的条件が課わられると、折りたたみ写像のコボルディズム群がボルドゥズム群と Z_{3^t} 要素の直和に分解するか？

主な発見

• 任意の k ≥ 0 に対して、R^{3k−1} への (2k+1)-次元多様体の折りたたみ写像のコボルディズム群は、非向き付けボルドゥズム群 N_{2k+1} と同型である。
• 向き付け可能な折りたたみコボルディズム群 Σ^1,0_so(1,0) は Z_2 と同型である。
• m ≥ 2 のとき、向き付け可能な折りたたみコボルディズム群 Σ^1,0_so(4m+1,2m) は向き付け可能なボルドゥズム群 Ω_{4m+1} と同型である。
• m ≥ 1 のとき、向き付け可能な折りたたみコボルディズム群 Σ^1,0_so(4m−1,2m−1) は Ω_{4m−1} ⊕ Z_{3^t} と同型であり、ここで t = min{j | α_3(2m+j) ≤ 3j} であり、α_3(x) は x を三進法で表したときの数の和である。
• H_1(P;Z_2) と H_2(P;Z_2) が自明な 7 次元向き付け可能な多様体 P に対して、コボルディズム群 Σ^1,0_so(5,P) は完全系列 0 → Z_2 → Σ^1,0_so(5,P) → Ω_5(P) → 0 に含まれる。
• 6m−2 次元の向き付け可能な多様体 P に対して、コボルディズム群 Σ^1,0_so(4m−1,P) は完全系列 0 → Z_{3^v} → Σ^1,0_so(4m−1,P) → Ω_{4m−1}(P) → 0 に含まれる。ここで v ≤ t であり、t は上記と同一である。