[論文レビュー] Cobordisms of maps without prescribed singularities

Yoshifumi Ando|ArXiv.org|Dec 13, 2004

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 34被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、特異点を制御した滑らかな多様体間の写像のcobordism類を、Thom-Boardman記号を用いて$Ω^I$-正則写像を定義することで、ホモトピー論的分類を確立する。この写像のcobordism群は、Thom複体構成を用いて安定ホモトピー群と同型であることが示され、特異点の代数的不変量（$e$-不変量および接バンドルの特徴類を含む）を用いて、球面の安定ホモトピー群に属する元を同定する応用がなされる。

ABSTRACT

Let $N$ and $P$ be smooth closed manifolds of dimensions $n$ and $p$ respectively. Given a Thom-Boardman symbol $I$, a smooth map $f:N o P$ is called an $Ω^{I}$-regular map if and only if the Thom-Boardman symbol of each singular point of $f$ is not greater than $I$ in the lexicographic order. We will represent the group of all cobordism classes of $Ω^{I}$-regular maps of $n$-dimensional closed manifolds into $P$ in terms of certain stable homotopy groups. As an application we will study the relationship among the stable homotopy groups of spheres, the above cobordism group and higher singularities.

研究の動機と目的

• Thom-Boardman記号を用いて、制御された特異点をもつ滑らかな写像のcobordism理論を定義し、研究すること。
• $Ω^I$-正則写像のcobordism群と安定ホモトピー群との間のホモトピー論的同型を確立すること。
• 写像の特異点から導かれる代数的不変量を用いて、球面の安定ホモトピー類を同定すること。
• 高次の特異点および特徴類（例：$P_1$, $P_2$）と、$π_n^S$における$e$-不変量などの不変量との関係を明らかにすること。

提案手法

• Thom-Boardman記号の辞書的順序を用いて$Ω^I$-正則写像を定義し、記号$≤ I$であるようなジェット・ジェルムに制限する。
• 関連するベクトル bundle のThom空間の間のバンドル写像$\mathbf{b}(\widehat{\gamma})^{(\Omega_n^I,\Omega_{n+1}^J)}$を構成する。
• 安定ホモトピー群への誘導されたThom写像を用いて、cobordism類を表現する。
• 障害理論および特徴類（$w_2$, $P_1$, $P_2$）を用いて、$π_n^S$における非自明な元を同定する。
• Vassiliev複体およびThom多項式を用いて、$(x^2+y^2,x^4)$および$(x^2+y^3,xy^2)$型の特異点の代数的個数を計算する。
• 24または240を法としての特異点の代数的個数と、$e$-不変量を含む安定ホモトピー不変量との関係を明らかにする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 制御された特異点をもつ写像のcobordism類は、どのように安定ホモトピー群を用いて分類できるか？
• RQ2 写像の特異点（Thom-Boardman記号を介して）と、その関連写像の安定ホモトピー類との間の明確な関係は何か？
• RQ3 $n=1,2,3,7$において、$w_2$, $P_1$, $P_2$などの特徴類は、$π_n^S$における非自明な元をどのように同定するか？
• RQ4 特定の型の特異点の代数的個数から$e$-不変量を回復できるか？
• RQ5 Vassiliev複体およびThom多項式は、特異写像の不変量を計算する際に果たす役割は何か？

主な発見

• $n=1$では、$e$-不変量は$(1,1,0)$-特異点のmod 2個数により2を法として検出される。
• $n=2$では、$ω_0([f]) \neq 0$であることは、$w_2(\tau(\widehat{V},\mathcal{T}(f))) \neq 0$であることと同値であり、これは$(1,1,0)$-特異点の存在に相当する。
• $n=3$では、$e$-不変量は$P_1(\tau(\widehat{V},\mathcal{T}(f)))/2$を24を法として等しくなり、$(2,0)$-特異点の代数的個数が$π_3^S \approx \mathbb{Z}/(24)$を計算する。
• $n=7$では、安定ホモトピー類は$P_2(\tau(\widehat{V},\mathcal{T}(f)))/6$を240を法として検出され、$(2,0)$および$(2,1)$-特異点の代数的個数が不変量を与える。
• $(x^2+y^3,xy^2)$型と$IV_4$型の特異点の代数的個数の差$A - 2B$は54で割り切れ、$(A-2B)/54$は$π_7^S \approx \mathbb{Z}/(240)$における安定ホモトピー類に対応する。
• サイクル$\langle(x^2+y^3,xy^2) - 2IV_4\rangle$のThom多項式は$9P_2(\tau(\widehat{V},\mathcal{T}(f)))$に等しく、特異点の個数と特徴類との間の関係を結ぶ。