[論文レビュー] Cobordisms of sutured manifolds

András Juhász|arXiv (Cornell University)|Oct 22, 2009

Geometric and Algebraic Topology参考文献 18被引用数 16

ひとこと要約

本稿では、sutured多様体間の新しいcobordismの概念を導入し、そのcobordismがsutured Floer homologyに写像を誘導することを証明している。これにより、閉じた3次元多様体のcobordism写像と接触付加写像が統一される。この構成により、sutured Floer homologyはTQFTに類似した理論として確立され、リンクFloer homologyが多変数アレクサンダー多項式をカテゴリフィケーションすることを示している。

ABSTRACT

It has been a central open problem in Heegaard Floer theory whether cobordisms of links induce homomorphisms on the associated link Floer homology groups. We provide an affirmative answer by introducing a natural notion of cobordism between sutured manifolds, and showing that such a cobordism induces a map on sutured Floer homology. This map is a common generalization of the hat version of the closed 3-manifold cobordism map in Heegaard Floer theory, and the contact gluing map defined by Honda, Kazez, and Matic. We show that sutured Floer homology, together with the above cobordism maps, forms a type of TQFT in the sense of Atiyah. Applied to the sutured manifold cobordism complementary to a decorated link cobordism, our theory gives rise to the desired map on link Floer homology. Hence, link Floer homology is a categorification of the multi-variable Alexander polynomial. We outline an alternative definition of the contact gluing map using only the contact element and handle maps. Finally, we show that a Weinstein sutured manifold cobordism preserves the contact element.

研究の動機と目的

• リンクのcobordismがリンクFloer homologyに準同型を誘導するかどうかという未解決問題を解消すること。
• 3次元多様体のcobordismと接触付加を両方一般化する、sutured多様体間の自然なcobordismの概念を定義すること。
• これらのcobordism写像を備えたsutured Floer homologyが、AtiyahのTQFT公理枠組みに従うことを示すこと。
• 装飾されたリンクcobordismの補完cobordismが、期待される写像をリンクFloer homologyに誘導することを示すこと。
• 接触付加写像の別定義を、補助的データを用いずに接触要素とハンドル写像のみに依拠して与えること。

提案手法

• sutured構造と境界条件を尊重する、sutured多様体間の新しいcobordismの定義を導入すること。
• Heegaard Floer理論からの擬複素曲線技法を用いて、各々のcobordismに付随するsutured Floer homology上の関手的写像を構成すること。
• cobordism写像が、Heegaard Floer理論における閉じた3次元多様体のcobordism写像のhat版に制限されることを示すこと。
• cobordism写像が、Honda, Kazez, Maticの接触付加写像を、接触要素とハンドル付加写像を介して再現することを証明すること。
• 関手的性質と合成法則を確立し、これらのcobordismの下でsutured Floer homologyのTQFTに類似した構造が成立することを検証すること。
• Weinstein cobordismを用いて、接触要素がsutured多様体のWeinstein型cobordismの下で保存されることを示すこと。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 sutured多様体間のwell-definedなcobordism関係が定義可能であり、それがsutured Floer homologyに写像を誘導できるか。
• RQ2 このcobordism写像が、Heegaard Floer理論における閉じた3次元多様体のcobordism写像と接触付加写像の両方を一般化するか。
• RQ3 これらのcobordism写像を備えたsutured Floer homologyが、Atiyahの意味でのTQFTと見なせるか。
• RQ4 装飾されたリンクcobordismの補完cobordismが、リンクFloer homologyにwell-definedな写像を誘導するか。
• RQ5 接触付加写像を、補助的データを用いずに接触要素とハンドル写像のみに依拠して再定義可能か。

主な発見

• 自然なsutured多様体間のcobordismの概念が定義され、各cobordismがsutured Floer homologyにwell-definedな写像を誘導することが示された。
• 誘導されたcobordism写像は、Heegaard Floer理論における閉じた3次元多様体のcobordism写像のhat版と、Honda, Kazez, Maticの接触付加写像の両方を一般化する。
• これらのcobordism写像を備えたsutured Floer homologyは、Atiyahの意味でのTQFTの公理を満たしており、関手的性質と合成法則が成り立つ。
• 装飾されたリンクcobordismの補完cobordismに理論を適用すると、リンクFloer homologyに期待される準同型が得られ、リンクFloer homologyが多変数アレクサンダー多項式をカテゴリフィケーションすることを確認した。
• 接触付加写像の別定義が提供され、補助的構造を用いずに接触要素とハンドル写像のみに依拠している。
• Weinstein型sutured多様体cobordismは、sutured Floer homologyにおける接触要素を保存し、幾何学的整合性条件を確立した。