[論文レビュー] Cobordisms with chronologies and a generalisation of the Khovanov complex

Krzysztof K. Putyra|arXiv (Cornell University)|Apr 6, 2010

Geometric and Algebraic Topology参考文献 15被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、区間への射影であるモーツァー関数である時系列を備えたcobordismの新カテゴリを導入し、偶数および奇数のコホノフリンクホモロジー理論を統一する枠組みを提供する。このカテゴリにおいてタングル不変複体を構成し、関手を適用することで、両方のホモロジー理論を回復する。これにより、コホノフホモロジーに基づく形式主義において奇数のコホノフホモロジーを記述する空白が埋められた。

ABSTRACT

There are two categorifications of the Jones polynomial: "even" discovered by M.Khovanov in 1999 and "odd" dicovered by P.Ozsvath, J.Rasmussen and Z.Szabo in 2007. The first one can be fully constructed in the category of cobordisms (strictly: in the additive closure of that category), where we can build a complex for a given tangle and show its invariance under Reidemeister moves. The even link homology is given by a monoidal functor from cobordisms into modules. However, odd link homology cannot be obtained in this way. In this paper I fill this gap. I enrich cobordisms with chronologies (projections onto intervals which are Morse separable functions) and show that they form a category. Given a tangle diagram I take the cube of its resolutions and build a complex in this new category. I show this complex is a tangle invariant and applying appropriate functors I can recover both even and odd link homology theories.

研究の動機と目的

• 標準的なcobordismからモノイダル関手によって得られない奇数のコホノフホモロジーに対するコホノフホモロジーに基づく構成の欠落を解消すること。
• 時系列を組み込んだことで、モーツァー関数がタングルの分解と整合するようにcobordismのカテゴリを拡張すること。
• タングル図の分解の立方体を、時系列を備えたcobordismのカテゴリに持ち上げ、そのカテゴリにおける複体を構成し、リーデマイスター移動に関して不変であることを証明すること。
• 適切な関手をこの複体に適用することで、偶数および奇数のリンクホモロジー理論が回復されることを示すこと。
• 既存のコホノフ型ホモロジー理論を一つの幾何的構成で統一するカテゴリ的枠組みを提供すること。

提案手法

• 時系列（区間への射影であり、モーツァー分離可能なモーツァー関数）を備えたcobordismのカテゴリを豊かめること。
• モーツァー関数が分解と整合するように、時系列構造を備えたcobordismの新しいカテゴリを定義すること。
• タングル図の分解の立方体を構成し、それを時系列を備えたcobordismのカテゴリに持ち上げること。
• 分解データと時系列データを用いて微分を定義し、この豊かめカテゴリにおける複体を構築すること。
• 時系列構造がホモトピー同値を保存することを示すことにより、リーデマイスター移動に関して複体の不変性を証明すること。
• この複体にモノイダル関手を適用することで、偶数および奇数のコホノフリンクホモロジー理論を回復すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 奇数のコホノフホモロジーは、偶数の場合と同様のcobordism形式主義を用いてカテゴリ的に構成可能か？
• RQ2 時系列構造をcobordismに組み込むにはどうすればよいか？ これによりリーデマイスター移動に関して不変性が保たれるか？
• RQ3 偶数および奇数のコホノフホモロジー理論を統一するカテゴリ的枠組みは存在するか？
• RQ4 モーツァー関数（時系列）は、異なるリンクホモロジー理論を区別するか、あるいは統一するか、それぞれの役割は何か？
• RQ5 時系列データを豊かめにしたカテゴリにおいて、タングル不変複体を構成できるか？ そして、それは関手的か？

主な発見

• 時系列を備えたcobordismのカテゴリは適切に定義されており、合成に関して閉じており、位相的構成に適した有効なカテゴリである。
• 時系列を備えたcobordismのカテゴリにおいて、分解の立方体から構成された複体は、すべてのリーデマイスター移動に関して不変であり、タングル不変であることが証明された。
• 標準的関手をこの複体に適用すると偶数のコホノフホモロジーが得られ、修正された関手を適用すると奇数のコホノフホモロジーが回復される。
• この構成により、奇数のコホノフホモロジーに幾何的かつカテゴリ的基盤が提供された。これは、以前はこのような形式化が欠落していた。
• 時系列の組み込みにより、両理論を一貫的かつ体系的に一般化したコホノフ複体の構成が可能となり、両理論を統一する。
• この枠組みにより、偶数および奇数のホモロジー理論が、単一の不変複体の異なる関手による像として生じることが示された。