[論文レビュー] Coboundary and Cosystolic Expansion Without Dependence on Dimension or Degree

Yotam Dikstein, Irit Dinur|arXiv (Cornell University)|Apr 4, 2023

Geometric and Algebraic Topology被引用数 2

ひとこと要約

本稿は、同型幾何的ラティスの順序複体およびLSV/KO複体を含む高次元拡張体について、次元および次数に依存しないコシスティルおよびコバウンダリー拡張の下界を確立する。著者らは、新たなカラーリストリクション技術と局所からグローバルへの定理のスペクトル的証明を導入することで、環境次元、次数、係数群に依存しない絶対的な拡張定数を達成し、トポロジカルオーバーラップおよびカバー安定性に関するより強い下界を得た。

ABSTRACT

We give new bounds on the cosystolic expansion constants of several families of high dimensional expanders, and the known coboundary expansion constants of order complexes of homogeneous geometric lattices, including the spherical building of $SL_n(F_q)$. The improvement applies to the high dimensional expanders constructed by Lubotzky, Samuels and Vishne, and by Kaufman and Oppenheim. Our new expansion constants do not depend on the degree of the complex nor on its dimension, nor on the group of coefficients. This implies improved bounds on Gromov's topological overlap constant, and on Dinur and Meshulam's cover stability, which may have applications for agreement testing. In comparison, existing bounds decay exponentially with the ambient dimension (for spherical buildings) and in addition decay linearly with the degree (for all known bounded-degree high dimensional expanders). Our results are based on several new techniques: * We develop a new "color-restriction" technique which enables proving dimension-free expansion by restricting a multi-partite complex to small random subsets of its color classes. * We give a new "spectral" proof for Evra and Kaufman's local-to-global theorem, deriving better bounds and getting rid of the dependence on the degree. This theorem bounds the cosystolic expansion of a complex using coboundary expansion and spectral expansion of the links. * We derive absolute bounds on the coboundary expansion of the spherical building (and any order complex of a homogeneous geometric lattice) by constructing a novel family of very short cones.

研究の動機と目的

• 高次元拡張体のコシスティルおよびコバウンダリー拡張定数における次元および次数に依存しない独立性を確立すること。
• 次元に依存しない拡張を用いて、グロモフのトポロジカルオーバーラップ定数およびディヌール＝メシュルァムのカバー安定性に関する下界を改善すること。
• 環境次元、次数、係数群に依存しない絶対的な拡張下界をもたらす技術の開発。
• 既知の有界次数の高次元拡張体（例えばLSVおよびKO複体）が、改善された拡張および安定性保証を有することを確立すること。
• 球面的ビルディングおよび同型ラティスの順序複体が、新規の短いコーンを用いて絶対的なコバウンダリー拡張下界を有することを示すこと。

提案手法

• マルチパーティット複体を色クラスのランダム部分集合に制限することで、次元に依存しない拡張を示す新たな「カラーリストリクション」技術を導入する。
• エブラとカウフマンの局所からグローバルへの定理の新たなスペクトル的証明を提供し、次数に依存しない形にし、下界を改善する。
• 順序複体の同型幾何的ラティスにおけるコバウンダリー拡張の絶対下界を導くために、新規の非常に短いコーンの族を構成する。
• 改善された拡張下界を適用し、グロモフのトポロジカルオーバーラップ定数およびカバー安定性に関するより緊密な下界を導出する。
• 局所からグローバルへの定理を用いて、リンクの局所スペクトル的拡張とグローバルなコシスティル拡張との関係を、改善された定量的依存関係で関係づける。
• 幾何的ラティスの順序複体の構造を活用し、明示的なチェインを構成し、コバウンダリー写像下での最小重みを分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 高次元複体の次元および次数に依存しないコシスティル拡張定数を下界で抑えられるか？
• RQ2 コシスティル拡張の局所からグローバルへの定理を、次数および次元に依存しない形で再証明できるか？
• RQ3 例えば $ \mathrm{SL}_n(\bbF_q) $ の球面的ビルディングを含む、同型幾何的ラティスの順序複体は、絶対的なコバウンダリー拡張下界を有するか？
• RQ4 コシスティル拡張の改善された下界は、トポロジカルオーバーラップおよびカバー安定性のより強い保証に繋がるか？
• RQ5 どのような複体の構造的性質が、絶対的な拡張下界をもたらす短いコーンの構成を可能にするか？

主な発見

• 本稿は、LSVおよびKO複体のコシスティル拡張定数 $ h_k(X, \bbF_2) $ が、次元および次数に依存せず $ \exp(-O(k^6 \log k)) $ で下から抑えられることを確立した。
• 球面的ビルディング $ \mathrm{SL}_n(\bbF_q) $ に対して、著者らは新規の短いコーンの族を用いて、次元および係数群に依存しない絶対的なコバウンダリー拡張下界を導出した。
• LSV複体のトポロジカルオーバーラップ定数は、$ c = \exp(-O(k^7 \log k)) - \varepsilon \cdot \exp(O(k^7 \log k)) $ に改善され、次数および次元に依存しない。ここで $ \varepsilon = 1/|X_n(0)| $ である。
• KO複体の2次スケルトンが $ \Omega(1) $-トポロジカルオーバーラップを有することを示し、従来の次数依存下界に比べ顕著な改善を達成した。
• LSVおよびKO複体のカバー安定性が、群や集合サイズに依存しない絶対定数 $ c > 0 $ で下から抑えられることを証明した。
• 著者らは、次数に依存しないスペクトル的証明を用いて局所からグローバルへの定理を達成し、先行研究の下界を改善し、高次元拡張理論における主要なバッテリーを解消した。