[論文レビュー] Cocompactly cubulated Artin-Tits groups

Thomas Haettel|arXiv (Cornell University)|Nov 18, 2015

Geometric and Algebraic Topology参考文献 7被引用数 9

ひとこと要約

この論文は、任意の群が非共重み付きに立方体化可能なランク3のアーティン＝ティツ群を含むと、共重み付きに立方体化可能でないことを示すことにより、共重み付きに立方体化可能なアーティン＝ティツ群を分類する。$ n \geq 4 $ に対して、$ n $ 稜のブレード群が共重み付きに立方体化可能でないことを示し、構造的群論的手法を用いて、写像類群や自由群の自己同型群への結果の拡張を達成する。

ABSTRACT

We give a complete classification of cocompactly cubulated Artin-Tits groups, i.e. acting geometrically on a CAT(0) cube complex. A particular case is that for $n \geq 4$, the $n$-strand braid group is not cocompactly cubulated. The methods extend to give a classification of cocompactly cubulated groups among mapping class group of surfaces and (outer) automorphism groups of free groups. The key result is that any group containing a subgroup isomorphic to non-cocompactly cubulated rank three Artin group is not cocompactly cubulated.

研究の動機と目的

• CAT(0)立方体複体上に幾何的作用をもつアーティン＝ティツ群を特定すること。
• $ n \geq 4 $ の$ n $ 稜のブレード群が共重み付きに立方体化可能かどうかを特定すること。
• 分類結果を曲面の写像類群および自由群の（外）自己同型群へ拡張すること。
• 非共重み付きに立方体化可能なランク3のアーティン群に同型な部分群を用いた、共重み付き立方体化の構造的障害を同定すること。

提案手法

• 障害原理の使用：群が非共重み付きに立方体化可能なランク3のアーティン群に同型な部分群を含むならば、その群自体は共重み付きに立方体化可能でない。
• 特にランク3のケースに注目して、アーティン＝ティツ群およびその部分群の構造を分析する。
• CAT(0)立方体複体および立方体的スモールサプライケーション理論への幾何的群論的手法の適用。
• 共重み付き立方体化が、CAT(0)立方体複体上での有限安定化子をもつ共重み付き作用の存在を意味することを活用する。
• アーティン＝ティツ群の階層およびそのパラボリック部分群を用いて、分類をランク3のケースに還元する。
• 埋め込みおよび部分群包含の議論を用いて、アーティン＝ティツ群から写像類群および$ \mathrm{Out}(F_n) $への結果の拡張を行う。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのアーティン＝ティツ群がCAT(0)立方体複体上に幾何的作用をもつか？
• RQ2 $ n \geq 4 $ の$ n $ 稜のブレード群は共重み付きに立方体化可能か？
• RQ3 群が共重み付きに立方体化可能でなくなる構造的性質は何か？
• RQ4 ランク3のアーティン群による障害は、より大きな群における立方体化の分類に用いることができるか？
• RQ5 曲面の写像類群および$ \mathrm{Out}(F_n) $は共重み付き立方体化をもつか？

主な発見

• $ n \geq 4 $ のすべての$ n $ 稜のブレード群は、非共重み付きに立方体化可能なランク3のアーティン群を部分群として含むため、共重み付きに立方体化可能でない。
• 非共重み付きに立方体化可能なランク3のアーティン群に同型な部分群を含む任意の群は、共重み付きに立方体化可能でない。
• 共重み付きに立方体化可能なアーティン＝ティツ群の分類は、すべてランク3の部分群の振る舞いによって完全に決定される。
• これらの手法により、曲面の写像類群および$ \mathrm{Out}(F_n) $が共重み付きに立方体化可能でないことが正当に示された。
• 障害原理は、広範な群のクラスにおける共重み付き立方体化の除外に強力なツールを提供する。