[論文レビュー] Cocycle and Orbit Equivalence Superrigidity for Bernoulli Actions of Kazhdan Groups

Sorin Popa|arXiv (Cornell University)|Dec 30, 2005

Advanced Operator Algebra Research参考文献 11被引用数 9

ひとこと要約

この論文は、相対的性質(T)を持つ無限正規部分群をもつカジダン群のベルヌーイ作用に関して、コサイクルおよび軌道同値性の超剛性を確立する。有限フォン・ノイマン代数のユニタリ群への測度的に定義されたコサイクルが、群準同型にコhomologousであることを示し、このようなベルヌーイ作用と自由エルゴディック作用との間の軌道同値性が、群同型および共役性から生じることを示し、測度的共役性が群同型を超えて存在しない場合の強い剛性を証明する。

ABSTRACT

We prove that if a countable discrete group Γ contains an infinite normal subgroup with the relative property (T) (e.g. Γ = SL(2, Z) ⋉ Z 2, or Γ = H × H ′ with H an infinite Kazhdan group and H ′ arbitrary) and V is a closed subgroup of the group of unitaries of a finite von Neumann algebra (e.g. V countable discrete, or separable compact), then any V-valued measurable cocycle for a Bernoulli Γ-action is cohomologous to a group morphism of Γ into V. We use this result to prove that if in addition Γ is infinite conjugacy class, then any orbit equivalence between a Bernoulli Γ-action and a free ergodic measure preserving action of some group Λ is implemented by a conjugacy of the actions, with respect to some group isomorphism Γ ≃ Λ.

研究の動機と目的

• 可換離散群に無限正規部分群が存在し、その部分群が相対的性質(T)をもつ場合の、可算離散群のベルヌーイ作用におけるコサイクル超剛性を確立すること。
• 群が無限共役類をもつという追加仮定のもとで、この結果を軌道同値性の剛性へ拡張すること。
• 別の群Λの自由エルゴディック測度保存作用との間のベルヌーイΓ作用間の軌道同値性が、群同型および共役性から生じることを示すこと。
• SL(2, Z) ⋉ Z² や H × H′（H が無限カジダン群）などの群に対して、剛性結果を一般化すること。
• 相対的性質(T)とユニタリコサイクル解析を用いて、コサイクルと軌道同値性の剛性を統一的な枠組みで扱うこと。

提案手法

• 無限正規部分群の相対的性質(T)を用いて、有限フォン・ノイマン代数のユニタリ群への値をとる測度的コサイクルの構造を制約する。
• 作用素代数とエルゴディック理論の技法を適用し、このようなコサイクルがユニタリ群Vへの群準同型にコhomologousであることを示す。
• 無限共役類条件を活用して、軌道同値関係の剛性を強化する。
• ベルヌーイ作用の構造を活用して、コサイクルのコホモロジー類とその準同型への同値性を分析する。
• ベルヌーイΓ作用と自由エルゴディックΛ作用との間の任意の軌道同値性が、群同型Γ ≃ Λを介した共役性によって実現されることを確立する。
• ユニタリ群Vが良好に振る舞う（例えば可算または分離可能なコンパクト）ように保証するため、有限フォン・ノイマン代数の枠組み内で作業する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限フォン・ノイマン代数のユニタリ群への値をとる測度的コサイクルが、ベルヌーイΓ作用に関して群準同型にコhomologousである条件は何か？
• RQ2 ベルヌーイΓ作用と別の群Λの自由エルゴディック作用との間の軌道同値性は、群同型および共役性によって実現可能か？
• RQ3 相対的性質(T)を持つ正規部分群の存在が、ベルヌーイ作用におけるコサイクルおよび軌道同値性の剛性にどのように影響するか？
• RQ4 無限共役類条件は、軌道同値関係の超剛性をどのように強化するか？
• RQ5 SL(2, Z) ⋉ Z² や H × H′（H がカジダン群）などの群は、どの程度コサイクルおよび軌道同値性の超剛性を示すか？

主な発見

• Γが相対的性質(T)を持つ無限正規部分群をもち、V が有限フォン・ノイマン代数のユニタリの閉部分群であるとき、ベルヌーイΓ作用に対する任意のV値測度的コサイクルは、群準同型にコhomologousである。
• Γがさらに無限共役類をもつ場合、ベルヌーイΓ作用と自由エルゴディック測度保存Λ作用との間の任意の軌道同値性は、群同型Γ ≃ Λを介した共役性によって実現される。
• この結果は、SL(2, Z) ⋉ Z² や H × H′（H が無限カジダン群、H′ は任意）のような群に適用可能である。
• ユニタリ群Vは可算離散または分離可能なコンパクトであることができ、これによりコサイクル超剛性結果の広範な適用性が保証される。
• 証明は、相対的性質(T)、エルゴディック理論、およびフォン・ノイマン代数の構造の間の相互作用に依存し、コサイクルコホモロジーを制約する。
• 軌道同値性超剛性結果により、群同型を超えて非自明な測度的共役性は存在せず、強い剛性が確立される。